درسdz

السنة الثالثة ثانوي · تقني رياضي · الرياضيات · الفصل الأول

الفرض الأول في الرياضيات للفصل الأول، السنة الثالثة ثانوي (تقني رياضي)

المدة: ساعة واحدة (60 دقيقة) المحاور: المتتاليات العددية: المتتالية الهندسية والمتتالية المساعدة والمجموع والنهاية، الدوال الأسية: النهايات والاشتقاق ودراسة تغيّرات دالة، المستقيم المقارب والمماس والتمثيل البياني، مبرهنة القيم المتوسطة والمناقشة البيانية لمعادلة

التمرين الأول: خزان مياه في غرداية (8 نقاط) (8 نقاط)

يحتوي خزان مياه في إحدى واحات غرداية على $600$ لتر من الماء عند بداية اليوم $0$. في نهاية كل يوم يُستهلك $20\%$ من كمية الماء الموجودة في الخزان، ثم تُضاف إليه $100$ لتر. نرمز بـ $u_n$ إلى كمية الماء (باللتر) في الخزان عند بداية اليوم $n$، فيكون $u_0=600$.

نقبل أن: $u_{n+1}=0{,}8\,u_n+100$ من أجل كل عدد طبيعي $n$.

  1. احسب $u_1$ و $u_2$. (1 نقطة)
  2. نعتبر المتتالية $(v_n)$ المعرفة بـ: $v_n=u_n-500$. بيّن أن $(v_n)$ متتالية هندسية يطلب تعيين أساسها وحدّها الأول. (1,5 نقطة)
  3. اكتب $v_n$ ثم $u_n$ بدلالة $n$. (1 نقطة)
  4. ادرس اتجاه تغيّر المتتالية $(u_n)$ ثم احسب $\lim_{n\to+\infty}u_n$ وفسّر النتيجة. (1,5 نقطة)
  5. احسب بدلالة $n$ المجموع $S_n=u_0+u_1+\dots+u_n$. (1,5 نقطة)
  6. باستعمال الآلة الحاسبة، عيّن أصغر عدد طبيعي $n$ يحقق $u_n<510$. (1,5 نقطة)
الحل وسلم التنقيط

حل التمرين الأول (8 نقاط)

1. (1 نقطة)

  • $u_1=0{,}8\times600+100=580$ (0,5)
  • $u_2=0{,}8\times580+100=564$ (0,5)

2. (1,5 نقطة)

  • $v_{n+1}=u_{n+1}-500=0{,}8u_n+100-500=0{,}8u_n-400$ (0,5)
  • $=0{,}8(u_n-500)=0{,}8\,v_n$ (0,5)
  • إذن $(v_n)$ هندسية أساسها $q=0{,}8$ وحدها الأول $v_0=u_0-500=100$ (0,5)

3. (1 نقطة)

  • $v_n=100\times(0{,}8)^n$ (0,5)
  • $u_n=v_n+500=500+100\times(0{,}8)^n$ (0,5)

4. (1,5 نقطة)

  • $u_{n+1}-u_n=100(0{,}8)^{n+1}-100(0{,}8)^n=100(0{,}8)^n(0{,}8-1)=-20\times(0{,}8)^n<0$ (0,5)
  • إذن $(u_n)$ متناقصة تماما. (0,25)
  • بما أن $-1<0{,}8<1$ فإن $\lim_{n\to+\infty}(0{,}8)^n=0$ ومنه $\lim_{n\to+\infty}u_n=500$ (0,5)
  • التفسير: كمية الماء في الخزان تتناقص وتقترب من $500$ لتر على المدى الطويل. (0,25)

5. (1,5 نقطة)

  • $S_n=\sum_{k=0}^{n}500+\sum_{k=0}^{n}v_k$ (0,5)
  • $=500(n+1)+100\times\dfrac{1-(0{,}8)^{n+1}}{1-0{,}8}$ (0,5)
  • $=500(n+1)+500\left(1-(0{,}8)^{n+1}\right)=500(n+2)-500\times(0{,}8)^{n+1}$ (0,5)

6. (1,5 نقطة)

  • $u_n<510\iff100(0{,}8)^n<10\iff(0{,}8)^n<0{,}1$ (0,5)
  • بالآلة الحاسبة: $(0{,}8)^{10}\approx0{,}107>0{,}1$ و $(0{,}8)^{11}\approx0{,}086<0{,}1$ (0,5)
  • وبما أن المتتالية $\left((0{,}8)^n\right)$ متناقصة تماما (لأن $0<0{,}8<1$)، فإن $(0{,}8)^n<0{,}1$ من أجل كل $n\ge11$، وأصغر عدد طبيعي هو $n=11$. (0,5)

لم تفهم؟ اطلب من المعلم الذكي شرح هذا التمرين

التمرين الثاني: دراسة دالة أسية (12 نقطة) (12 نقطة)

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ: $f(x)=(x+2)e^{-x}$، و $(C_f)$ تمثيلها البياني في معلم متعامد ومتجانس $(O;\vec{i},\vec{j})$ (الوحدة $2$ cm).

  1. احسب $\lim_{x\to-\infty}f(x)$ و $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ (نذكّر أن $\lim_{x\to+\infty}xe^{-x}=0$)، ثم فسّر النتيجة الثانية هندسيا. (نقطتان)
  2. بيّن أن $f'(x)=-(x+1)e^{-x}$ من أجل كل عدد حقيقي $x$، ثم استنتج اتجاه تغيّر الدالة $f$ وشكّل جدول تغيّراتها. (2,5 نقطة)
  3. اكتب معادلة المماس $(T)$ للمنحنى $(C_f)$ عند النقطة ذات الفاصلة $0$. (1 نقطة)
  4. بيّن أن المعادلة $f(x)=1$ تقبل حلا وحيدا $\alpha$ في المجال $[-1;+\infty[$، ثم تحقق أن $1{,}1<\alpha<1{,}2$. (نقطتان)

(تعطى القيم: $f(1{,}1)\approx1{,}03$ و $f(1{,}2)\approx0{,}96$.)

  1. ارسم $(T)$ و $(C_f)$ على المجال $[-2{,}5;4]$. (نأخذ $e\approx2{,}7$ و $f(-2{,}5)\approx-6{,}1$، ويمكن الاستعانة بالقيم $f(1)\approx1{,}1$، $f(2)\approx0{,}54$، $f(3)\approx0{,}25$). (2,5 نقطة)
  2. ناقش بيانيا، حسب قيم الوسيط الحقيقي $m$، عدد حلول المعادلة $f(x)=m$. (نقطتان)
الحل وسلم التنقيط

حل التمرين الثاني (12 نقطة)

1. (نقطتان)

  • عندما $x\to-\infty$: $x+2\to-\infty$ و $e^{-x}\to+\infty$ إذن $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ (0,75)
  • $f(x)=xe^{-x}+2e^{-x}$ و $\lim_{x\to+\infty}xe^{-x}=0$ و $\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0$ إذن $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ (0,75)
  • التفسير: المستقيم ذو المعادلة $y=0$ (محور الفواصل) مستقيم مقارب للمنحنى $(C_f)$ بجوار $+\infty$. (0,5)

2. (2,5 نقطة)

  • $f'(x)=e^{-x}+(x+2)\times(-e^{-x})$ (0,5)
  • $=e^{-x}(1-x-2)=-(x+1)e^{-x}$ (0,5)
  • بما أن $e^{-x}>0$ فإشارة $f'(x)$ هي إشارة $-(x+1)$: موجبة على $]-\infty;-1[$ وسالبة على $]-1;+\infty[$ (0,5)
  • $f$ متزايدة تماما على $]-\infty;-1]$ ومتناقصة تماما على $[-1;+\infty[$ (0,25)
  • $f(-1)=e\approx2{,}72$
$x$$-\infty$$-1$$+\infty$
$f'(x)$$+$$0$$-$
$f(x)$$-\infty$$\nearrow$$e$$\searrow$$0$

(0,75 للجدول)

3. (1 نقطة)

  • $f(0)=2$ و $f'(0)=-1$ (0,5)
  • $(T):y=f'(0)(x-0)+f(0)=-x+2$ (0,5)

4. (نقطتان)

  • على $[-1;+\infty[$ الدالة $f$ مستمرة ومتناقصة تماما، وتأخذ قيمها في $]0;e]$ (0,5)
  • $1\in]0;e]$ إذن حسب مبرهنة القيم المتوسطة (مع الرتابة التامة) المعادلة $f(x)=1$ تقبل حلا وحيدا $\alpha$ في $[-1;+\infty[$ (0,75)
  • $f(1{,}1)\approx1{,}03>1>f(1{,}2)\approx0{,}96$ ولأن $f$ متناقصة تماما فإن $1{,}1<\alpha<1{,}2$ (0,75)

5. (2,5 نقطة)

  • نقاط مساعدة: $(-2;0)$ ، $(-1;e)$ ، $(0;2)$ ، $(1;1{,}1)$ ، $(2;0{,}54)$ ، $(3;0{,}25)$ ، $(-2{,}5;-6{,}1)$ (0,5)
  • رسم المماس $(T)$: المستقيم المار بالنقطتين $(0;2)$ و $(2;0)$ (0,5)
  • رسم المستقيم المقارب $y=0$ (0,25)
  • رسم المنحنى $(C_f)$: يتزايد إلى القمة $(-1;e)$ ثم يتناقص مقتربا من محور الفواصل من الأعلى عند $+\infty$، ويقطع محور الفواصل في $(-2;0)$ (1)
  • الدقة واحترام السلم (0,25)

6. (نقطتان) المناقشة البيانية بقراءة تقاطع $(C_f)$ مع المستقيم الأفقي $y=m$:

  • إذا $m>e$: لا يوجد حل. (0,5)
  • إذا $m=e$: حل وحيد هو $x=-1$. (0,5)
  • إذا $0<m<e$: حلان متمايزان. (0,5)
  • إذا $m\le0$: حل وحيد (سالب أو معدوم، وهو $-2$ عندما $m=0$). (0,5)

لم تفهم؟ اطلب من المعلم الذكي شرح هذا التمرين

وثيقة أصلية من إعداد درس dz، روجعت قبل النشر مراجعة مستقلة بتاريخ 2026-10-18. كيف نعدّ المحتوى

أبلغ عن خطأ في هذه الصفحة

نماذج أخرى