الاختبار الأول في الرياضيات للفصل الأول، السنة الثالثة ثانوي (تسيير واقتصاد)

حل التمرين الأول (6 ن)

1) حساب $u_1$ و $u_2$ (1 ن)

$u_1=0{,}9\times1200+150=1080+150=1230$ (0,5 ن)

$u_2=0{,}9\times1230+150=1107+150=1257$ (0,5 ن)

2-أ) المتتالية الهندسية (1,5 ن)

$v_{n+1}=u_{n+1}-1500=0{,}9u_n+150-1500=0{,}9u_n-1350$ (0,5 ن)

$v_{n+1}=0{,}9(u_n-1500)=0{,}9\,v_n$ (0,5 ن)

إذن $(v_n)$ هندسية أساسها $q=0{,}9$ وحدها الأول $v_0=1200-1500=-300$ (0,5 ن)

2-ب) الحد العام (1 ن)

$v_n=v_0\,q^n=-300\times0{,}9^n$ (0,5 ن)

$u_n=v_n+1500=1500-300\times0{,}9^n$ (0,5 ن)

(تحقق: $u_1=1500-270=1230$ ✓.)

3) النهاية (1 ن)

لدينا $0<0{,}9<1$ إذن $\lim_{n\to+\infty}0{,}9^n=0$ (0,5 ن)

ومنه $\lim_{n\to+\infty}u_n=1500$ (0,25 ن)

التفسير: يستقر المخزون على المدى البعيد قرب $1500$ لتر، ولا يتجاوزه، فيكفي مستودع سعته $1500$ لتر. (0,25 ن)

4) المجموع (1,5 ن)

المجموع يضم $10$ حدود متتابعة من متتالية هندسية أساسها $0{,}9$: (0,5 ن)

$S=v_0\times\dfrac{1-0{,}9^{10}}{1-0{,}9}$ (0,5 ن)

$S=-300\times\dfrac{1-0{,}9^{10}}{0{,}1}=-3000\left(1-0{,}9^{10}\right)$ (0,5 ن)

حل التمرين الثاني (8 ن)

1) النهايات (1 ن)

$f(x)=x^3-3x^2+1$ كثير حدود، نهايته عند اللانهاية هي نهاية حده الأعلى درجة.

$\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty$ (0,5 ن)

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty$ (0,5 ن)

2) المشتقة وجدول التغيرات (2 ن)

$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ (0,5 ن)

الإشارة: $f'(x)>0$ على $]-\infty;0[$ وعلى $]2;+\infty[$، و $f'(x)<0$ على $]0;2[$، و $f'(0)=f'(2)=0$ (0,5 ن)

$f$ متزايدة تماما على $]-\infty;0]$ وعلى $[2;+\infty[$، ومتناقصة تماما على $[0;2]$ (0,5 ن)

$f(0)=1$ و $f(2)=8-12+1=-3$

(0,5 ن لجدول التغيرات)

3) الحلول الثلاثة (2 ن)

$f$ مستمرة على $\mathbb{R}$ لأنها كثير حدود. (0,25 ن)

• على $[-1;0]$: $f$ مستمرة ومتزايدة تماما و $f(-1)=-1-3+1=-3<0$ و $f(0)=1>0$، فحسب مبرهنة القيم المتوسطة يوجد حل وحيد $\alpha\in]-1;0[$. (0,5 ن)
• على $[0;2]$: $f$ مستمرة ومتناقصة تماما و $f(0)=1>0$ و $f(2)=-3<0$، فيوجد حل وحيد $\beta\in]0;2[$. (0,5 ن)
• على $[2;3]$: $f$ مستمرة ومتزايدة تماما و $f(2)=-3<0$ و $f(3)=27-27+1=1>0$، فيوجد حل وحيد $\gamma\in]2;3[$. (0,5 ن)

على $]-\infty;-1]$ لدينا $f(x)\le f(-1)=-3<0$ (لأن $f$ متزايدة)، وعلى $[3;+\infty[$ لدينا $f(x)\ge f(3)=1>0$، فلا حلول خارج هذه المجالات. إذن للمعادلة ثلاثة حلول بالضبط. (0,25 ن)

4) معادلة المماس (1 ن)

$(T): y=f'(1)(x-1)+f(1)$ (0,25 ن)

$f(1)=1-3+1=-1$ و $f'(1)=3(1)(1-2)=-3$ (0,5 ن)

$y=-3(x-1)-1=-3x+2$ (0,25 ن)

5) الوضعية النسبية (1 ن)

$f(x)-(-3x+2)=x^3-3x^2+1+3x-2=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3$ (0,5 ن)

• إذا كان $x>1$: $(x-1)^3>0$، فالمنحنى فوق $(T)$.
• إذا كان $x<1$: $(x-1)^3<0$، فالمنحنى تحت $(T)$.
• عند $x=1$ يتقاطعان؛ وهي نقطة انعطاف يخترق عندها المنحنى مماسه. (0,5 ن)

6) الرسم (1 ن)

يُرسم المماس $(T)$ المار بالنقطتين $(0;2)$ و $(1;-1)$ (0,25 ن)، ثم المنحنى $(C_f)$ مارا بالنقاط $(-1;-3)$ و $(0;1)$ و $(1;-1)$ و $(2;-3)$ و $(3;1)$، مع مماسين أفقيين عند $x=0$ و $x=2$ ويخترق $(T)$ عند $(1;-1)$ (0,75 ن).

حل التمرين الثالث (6 ن)

1-أ) عبارة $A(x)$ ومشتقتها (1 ن)

$A(x)=\dfrac{x^2+4x+16}{x}=x+4+\dfrac{16}{x}$ (0,25 ن)

$A'(x)=1-\dfrac{16}{x^2}$ (0,25 ن) $=\dfrac{x^2-16}{x^2}=\dfrac{(x-4)(x+4)}{x^2}$ (0,5 ن)

1-ب) جدول التغيرات (1,5 ن)

على $[1;10]$ لدينا $x+4>0$ و $x^2>0$، فإشارة $A'(x)$ هي إشارة $x-4$. (0,5 ن)

$A(1)=1+4+16=21$ ، $A(4)=4+4+4=12$ ، $A(10)=10+4+1{,}6=15{,}6$ (0,5 ن)

(0,5 ن للجدول)

1-ج) (0,5 ن)

تكون التكلفة المتوسطة أصغر ما يمكن عند $x=4$، أي $400$ وحدة، وقيمتها $12$ ألف دج للمئة وحدة. (0,5 ن)

2-أ) الربح (1,5 ن)

$B(x)=R(x)-C(x)=14x-(x^2+4x+16)=-x^2+10x-16$ (0,5 ن)

$B(x)=0$: المميز $\Delta=100-64=36$، $x_1=\dfrac{-10+6}{-2}=2$ و $x_2=\dfrac{-10-6}{-2}=8$ (0,5 ن)

معامل $x^2$ سالب، إذن $B(x)>0$ من أجل $x\in]2;8[$، و $B(x)<0$ من أجل $x\in[1;2[\,\cup\,]8;10]$، و $B(x)=0$ من أجل $x=2$ أو $x=8$. (0,5 ن)

2-ب) الربح الأعظمي (1,5 ن)

$B'(x)=-2x+10$ (0,5 ن) وهي تنعدم عند $x=5$، وتكون موجبة على $[1;5[$ وسالبة على $]5;10]$، إذن $B$ تبلغ قيمتها العظمى عند $x=5$. (0,5 ن)

$B(5)=-25+50-16=9$ (0,25 ن)

أكبر ربح يتحقق بإنتاج $500$ وحدة، وقيمته $9$ آلاف دج. (0,25 ن)