الاختبار الأول في الرياضيات للفصل الأول، السنة الثالثة ثانوي (علوم تجريبية)

حل التمرين الأول (5 نقاط)

1. (1 ن)

• $u_1=\frac45\times100+60=140$ و$u_2=\frac45\times140+60=172$. (0.25)
• $v_{n+1}=u_{n+1}-300=\frac45u_n+60-300=\frac45u_n-240=\frac45(u_n-300)=\frac45v_n$. (0.5)
• إذن $(v_n)$ هندسية أساسها $q=\frac45$ وحدها الأول $v_0=100-300=-200$. (0.25)

2. (1 ن)

• $v_n=-200\left(\frac45\right)^n$. (0.5)
• $u_n=v_n+300=300-200\left(\frac45\right)^n$. (0.5)

3. (1 ن)

• $u_{n+1}-u_n=v_{n+1}-v_n=-200\left(\frac45\right)^n\left(\frac45-1\right)=40\left(\frac45\right)^n>0$، إذن $(u_n)$ متزايدة تماماً. (0.5)
• بما أن $0<\frac45<1$ فإن $\lim\left(\frac45\right)^n=0$، ومنه $\lim u_n=300$، فالمتتالية متقاربة. (0.25)
• التفسير: يقترب حجم الماء في السد من $300$ ألف متر مكعب دون أن يبلغها، وهي حالة التوازن بين المدخلات والمخرجات. (0.25)

4. (1 ن)
$$S_n=\sum_{k=0}^{n}300-200\sum_{k=0}^{n}\left(\frac45\right)^k=300(n+1)-200\cdot\frac{1-\left(\frac45\right)^{n+1}}{1-\frac45}$$ (0.5)
$$S_n=300(n+1)-1000\left(1-\left(\tfrac45\right)^{n+1}\right)=300n-700+1000\left(\tfrac45\right)^{n+1}$$ (0.5)
(تحقق: من أجل $n=0$ نجد $S_0=-700+800=100=u_0$.)

5. (1 ن)

• $u_n>299\iff 200\left(\frac45\right)^n<1\iff\left(\frac45\right)^n<\frac1{200}$. (0.25)
• بإدخال $\ln$ والمتراجحة تحافظ على الاتجاه: $n\ln\frac45<-\ln200$، و$\ln\frac45<0$ فنقسم ونغير الاتجاه: $n>\dfrac{\ln200}{\ln\frac54}\approx23.74$. (0.5)
• إذن أصغر قيمة هي $n=24$. (0.25)

حل التمرين الثاني (4 نقاط)

1. صحيحة. (1 ن)

• من أجل $x>0$: $\ln x-x=x\left(\dfrac{\ln x}{x}-1\right)$. (0.5)
• بما أن $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$ فإن $\dfrac{\ln x}{x}-1\to-1$ و$x\to+\infty$، إذن النهاية $-\infty$. (0.5)

2. صحيحة. (1 ن)

• نضع $k(x)=e^x+x-3$. الدالة $k$ مستمرة وقابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ و$k'(x)=e^x+1>0$، فهي متزايدة تماماً. (0.5)
• $\lim_{-\infty}k=-\infty$ و$\lim_{+\infty}k=+\infty$، فحسب مبرهنة القيم المتوسطة (حالة الدالة الرتيبة تماماً) للمعادلة $k(x)=0$ حل وحيد. (0.5)

3. خاطئة. (1 ن)

• من أجل $x\ne1$: $g(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$، إذن $\lim_{x\to1}g(x)=2$. (0.5)
• و$g(1)=3\neq2$، فالدالة غير مستمرة عند $1$. (0.5)

4. خاطئة. (1 ن)

• النهاية $\lim_{x\to0^+}x\ln x=0$ (نهاية مألوفة من الدرس). (0.5)
• ومنه لا تساوي $-\infty$. (0.5)

حل التمرين الثالث (11 نقطة)

الجزء الأول

1. (1 ن)

• عند $+\infty$: $x-3\to+\infty$ و$e^{-x}\to0$، إذن $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$. (0.5)
• عند $-\infty$: $f(x)=e^{-x}\left(3+(x-3)e^{x}\right)$ (إزالة عدم التعيين). بما أن $\lim_{x\to-\infty}xe^x=0$ و$\lim e^x=0$ فإن $(x-3)e^x\to0$، والمقدار بين القوسين يؤول إلى $3$ و$e^{-x}\to+\infty$، إذن $\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$. (0.5)

2. (1.5 ن)

• $f'(x)=1+3\cdot(-e^{-x})=1-3e^{-x}$. (0.5)
• $f'(x)>0\iff e^{-x}<\frac13\iff -x<-\ln3\iff x>\ln3$. إذن $f'<0$ على $]-\infty;\ln3[$ و$f'>0$ على $]\ln3;+\infty[$، و$f'(\ln3)=0$. (0.5)
• $f(\ln3)=\ln3-3+3\cdot\frac13=\ln3-2\approx-0.90$. (0.5 لجدول التغيرات)

3. (1 ن)

• $f(x)-(x-3)=3e^{-x}$ و$\lim_{x\to+\infty}3e^{-x}=0$، إذن $(\Delta)$ مقارب مائل عند $+\infty$. (0.5)
• $3e^{-x}>0$ من أجل كل $x$، فالمنحنى $(C_f)$ يقع فوق $(\Delta)$ على $\mathbb{R}$. (0.5)

4. (1.5 ن)

• $f(0)=0-3+3e^{0}=0$، إذن $0$ حل للمعادلة $f(x)=0$ (وهو الحل الوحيد على $]-\infty;\ln3]$ لأن $f$ رتيبة تماماً عليه). (0.5)
• على $[\ln3;+\infty[$: $f$ مستمرة ومتزايدة تماماً، و$f(\ln3)=\ln3-2<0$ و$\lim_{+\infty}f=+\infty$، فحسب مبرهنة القيم المتوسطة يوجد حل وحيد $\alpha$ في هذا المجال. (0.5)
• $f(2.8)\approx-0.018<0$ و$f(2.9)\approx0.065>0$، ومنه $2.8<\alpha<2.9$. (0.5)

5. (1 ن)

• $f'(0)=1-3=-2$ و$f(0)=0$. (0.5)
• $(T):y=f'(0)(x-0)+f(0)$ أي $y=-2x$. (0.5)

6. (1.5 ن)

• رسم $(\Delta):y=x-3$ ورسم $(T):y=-2x$. (0.5)
• النقاط المساعدة: $(0;0)$، $(\ln3;\ln3-2)\approx(1.1;-0.9)$، $(2;-0.59)$، $(\alpha;0)$ مع $\alpha\approx2.8$، $(-1;4.16)$. (0.5)
• رسم $(C_f)$ متناسقاً مع الجدول والمقارب والمماس: فرع يتجه إلى الأعلى عند $-\infty$، ويقترب من $(\Delta)$ من الأعلى عند $+\infty$. (0.5)

7. (1 ن)
عدد حلول $f(x)=m$ هو عدد نقاط تقاطع $(C_f)$ مع المستقيم الأفقي $y=m$:

• إذا كان $m<\ln3-2$: لا يوجد حل. (0.25)
• إذا كان $m=\ln3-2$: حل وحيد $x=\ln3$. (0.25)
• إذا كان $m>\ln3-2$: حلان مختلفان. (0.5)

الجزء الثاني

1. (1 ن)

• $h$ معرفة إذا وفقط إذا كان $f(x)>0$. (0.25)
• من جدول التغيرات وبالاستعانة بالسؤال 4: $f$ متناقصة من $+\infty$ إلى $0$ على $]-\infty;0[$ فهي موجبة تماماً، وسالبة تماماً على $]0;\alpha[$، وموجبة تماماً على $]\alpha;+\infty[$. (0.5)
• إذن $D_h=]-\infty;0[\cup]\alpha;+\infty[$. (0.25)

2. (1 ن)

• $\lim_{x\to-\infty}h(x)=+\infty$ لأن $f\to+\infty$ و$\lim_{X\to+\infty}\ln X=+\infty$. (0.25)
• $\lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty$. (0.25)
• عند $0^-$: $f(x)\to0^+$ إذن $\lim h=\lim_{X\to0^+}\ln X=-\infty$. (0.25)
• عند $\alpha^+$: $f(x)\to0^+$ إذن $\lim h=-\infty$. (0.25)
• التفسير الهندسي: المستقيمان ذوا المعادلتين $x=0$ و$x=\alpha$ مقاربان للمنحنى $(C_h)$.

3. (0.5 ن)
$h'(x)=\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ وإشارتها من إشارة $f'$ لأن $f>0$ على $D_h$: على $]-\infty;0[$ لدينا $f'<0$ فـ$h$ متناقصة، وعلى $]\alpha;+\infty[$ لدينا $f'>0$ فـ$h$ متزايدة.