الفرض الأول في الرياضيات للفصل الأول، السنة الثالثة ثانوي (تسيير واقتصاد)
المدة: ساعة واحدة (60 دقيقة) المحاور: المتتاليات العددية: المتتالية الهندسية والمتتالية المساعدة ومجموع حدود متتابعة، نهاية متتالية هندسية، الدوال العددية: النهايات والمستقيمات المقاربة، الاشتقاقية ودراسة تغيرات دالة ناطقة، معادلة المماس والتمثيل البياني، تطبيقات اقتصادية (التكلفة الوسطية)
التمرين الأول: المتتاليات العددية (8 نقاط)
تطبيق لتوصيل الطلبات في مدينة وهران كان عدد المشتركين فيه عند انطلاقه $1000$ مشترك. في نهاية كل سنة يلغي $20\%$ من المشتركين اشتراكهم، وينضم $400$ مشترك جديد.
نرمز بـ $u_n$ إلى عدد المشتركين بعد $n$ سنة من الانطلاق، فيكون $u_0=1000$ و $u_{n+1}=0{,}8\,u_n+400$ من أجل كل عدد طبيعي $n$.
- احسب $u_1$ و $u_2$. (1 نقطة)
- نعتبر المتتالية $(v_n)$ المعرفة بـ $v_n=u_n-2000$ من أجل كل عدد طبيعي $n$.
- أ) بيّن أن $(v_n)$ متتالية هندسية، يطلب تعيين أساسها وحدها الأول. (نقطتان)
- ب) اكتب $v_n$ بدلالة $n$، ثم استنتج أن $u_n=2000-1000\times(0{,}8)^n$. (1,5 نقطة)
- احسب $\lim_{n\to+\infty}u_n$ وفسّر النتيجة اقتصاديا. (1,5 نقطة)
- احسب المجموع $S=v_0+v_1+v_2+v_3+v_4$ (يعطى $(0{,}8)^5=0{,}32768$). (نقطتان)
الحل وسلم التنقيط
حل التمرين الأول (8 نقاط)
1) حساب $u_1$ و $u_2$ (1 نقطة)
- $u_1=0{,}8\times1000+400=1200$ (0,5)
- $u_2=0{,}8\times1200+400=1360$ (0,5)
2) أ) المتتالية $(v_n)$ هندسية (نقطتان)
$v_{n+1}=u_{n+1}-2000=0{,}8u_n+400-2000=0{,}8u_n-1600$ (0,75)
$v_{n+1}=0{,}8\,(u_n-2000)=0{,}8\,v_n$ (0,5)
إذن $(v_n)$ متتالية هندسية أساسها $q=0{,}8$ (0,25) وحدها الأول $v_0=u_0-2000=-1000$ (0,5).
ب) عبارة $v_n$ و $u_n$ (1,5 نقطة)
$v_n=v_0\times q^n=-1000\times(0{,}8)^n$ (0,75)
ولدينا $u_n=v_n+2000$ ومنه $u_n=2000-1000\times(0{,}8)^n$ (0,75)
3) النهاية (1,5 نقطة)
بما أن $-1<0{,}8<1$ فإن $\lim_{n\to+\infty}(0{,}8)^n=0$ (0,5)
ومنه $\lim_{n\to+\infty}u_n=2000$ (0,5)
التفسير: يقترب عدد المشتركين من $2000$ مشترك على المدى الطويل دون أن يتجاوزه. (0,5)
4) حساب المجموع (نقطتان)
$S=v_0\times\dfrac{1-q^5}{1-q}$ (0,75)
$S=-1000\times\dfrac{1-0{,}32768}{0{,}2}$ (0,5)
$S=-1000\times\dfrac{0{,}67232}{0{,}2}=-1000\times3{,}3616=-3361{,}6$ (0,75)
التمرين الثاني: دراسة دالة التكلفة الوسطية (12 نقطة)
تنتج ورشة لصناعة الحلويات التقليدية في قسنطينة يوميا ما بين $100$ و $800$ قطعة. إذا كان $x$ عدد مئات القطع المنتجة يوميا، فإن التكلفة الوسطية لإنتاج مئة قطعة، مقدرة بآلاف الدنانير (ألف دج)، تعطى بالدالة $f$ المعرفة على المجال $]0;+\infty[$ بـ:
$$f(x)=x+2+\frac{4}{x}$$
وليكن $(C_f)$ تمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى معلم متعامد.
- احسب $\lim_{x\to 0^+}f(x)$ و $\lim_{x\to+\infty}f(x)$، ثم فسّر النتيجة الأولى هندسيا. (1,5 نقطة)
- بيّن أن المستقيم $(\Delta)$ ذا المعادلة $y=x+2$ مقارب مائل للمنحنى $(C_f)$ عند $+\infty$، ثم ادرس وضعية $(C_f)$ بالنسبة إلى $(\Delta)$. (1,5 نقطة)
- احسب $f'(x)$ وبيّن أن $f'(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}$، ثم ادرس إشارة $f'(x)$ وشكّل جدول تغيرات الدالة $f$. (3 نقاط)
- اكتب معادلة المماس $(T)$ للمنحنى $(C_f)$ عند النقطة ذات الفاصلة $1$. (1,5 نقطة)
- حل في $]0;+\infty[$ المعادلة $f(x)=7$، ثم بيّن ماذا تمثل حلولها بالنسبة إلى الورشة. (نقطتان)
- ارسم $(\Delta)$ و $(T)$ و $(C_f)$ على المجال $]0;8]$ (الوحدة: $1\,\text{cm}$ على كل من المحورين). يمكنك الاستعانة بالجدول الآتي: (2,5 نقطة)
| $x$ | $0{,}5$ | $1$ | $2$ | $4$ | $6$ | $8$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $10{,}5$ | $7$ | $6$ | $7$ | $\approx 8{,}67$ | $10{,}5$ |
الحل وسلم التنقيط
حل التمرين الثاني (12 نقطة)
1) النهايات (1,5 نقطة)
- $\lim_{x\to0^+}\dfrac{4}{x}=+\infty$ ومنه $\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty$ (0,5)
- $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ لأن $\lim_{x\to+\infty}(x+2)=+\infty$ و $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4}{x}=0$ (0,5)
- التفسير: المستقيم ذو المعادلة $x=0$ (محور التراتيب) مقارب عمودي للمنحنى $(C_f)$. (0,5)
2) المقارب المائل (1,5 نقطة)
$f(x)-(x+2)=\dfrac{4}{x}$ و $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4}{x}=0$ إذن $(\Delta):y=x+2$ مقارب مائل عند $+\infty$ (0,75)
من أجل $x>0$ لدينا $\dfrac{4}{x}>0$ أي $f(x)>x+2$، ومنه $(C_f)$ فوق $(\Delta)$ على $]0;+\infty[$ (0,75)
3) المشتقة والإشارة وجدول التغيرات (3 نقاط)
$f'(x)=1-\dfrac{4}{x^2}$ (0,5)
$f'(x)=\dfrac{x^2-4}{x^2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}$ (0,5)
على $]0;+\infty[$: $x+2>0$ و $x^2>0$ فإشارة $f'(x)$ هي إشارة $(x-2)$. (0,5)
- $f'(x)<0$ على $]0;2[$ فالدالة متناقصة تماما. (0,25)
- $f'(x)>0$ على $]2;+\infty[$ فالدالة متزايدة تماما. (0,25)
- $f(2)=2+2+2=6$ (0,25)
جدول التغيرات: (0,75)
| $x$ | $0$ | $2$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $f(x)$ | $+\infty$ | ↘ | $6$ | ↗ | $+\infty$ |
4) معادلة المماس (1,5 نقطة)
$f(1)=1+2+4=7$ (0,25)
$f'(1)=\dfrac{(1-2)(1+2)}{1}=-3$ (0,5)
$(T): y=f'(1)(x-1)+f(1)$ (0,25)
$y=-3(x-1)+7$ أي $(T): y=-3x+10$ (0,5)
5) حل المعادلة $f(x)=7$ وتفسير الحلول (نقطتان)
$x+2+\dfrac{4}{x}=7$ تكافئ $\dfrac{x^2-5x+4}{x}=0$ (0,5)
أي $x^2-5x+4=0$ مع $x\neq0$ (0,25)
$(x-1)(x-4)=0$ ومنه $x=1$ أو $x=4$ (0,5)
كلا الحلين ينتمي إلى $]0;+\infty[$. (0,25)
التفسير: تبلغ التكلفة الوسطية $7$ آلاف دج لكل مئة قطعة عندما تنتج الورشة $100$ قطعة أو $400$ قطعة يوميا. (0,5)
6) الرسم (2,5 نقطة)
- رسم المقارب العمودي $x=0$ والمستقيم $(\Delta):y=x+2$ (نقطتان مثلا $(0;2)$ و $(4;6)$). (0,5)
- رسم المماس $(T):y=-3x+10$ (نقطتان مثلا $(1;7)$ و $(2;4)$). (0,5)
- تعيين نقاط الجدول ورسم المنحنى $(C_f)$ بشكل متصل، متناقص ثم متزايد، مع بلوغ القيمة الدنيا $6$ عند $x=2$، وقربه من $(\Delta)$ ومن محور التراتيب، وبقائه فوق $(\Delta)$ ومماسته لـ $(T)$ عند النقطة $(1;7)$. (1,5)