درسdz

السنة الثالثة ثانوي · علوم تجريبية · الرياضيات · الفصل الأول

الفرض الأول في الرياضيات للفصل الأول، السنة الثالثة ثانوي (علوم تجريبية)

المدة: ساعة واحدة (60 دقيقة) المحاور: المتتاليات العددية: المتتالية الهندسية، المتتالية المساعدة، الرتابة، النهاية، المجاميع، الدوال العددية: النهايات والمستقيمات المقاربة، الدوال العددية: الاشتقاقية، دراسة تغيرات دالة ناطقة، المماس، مركز التناظر، التمثيل البياني، الاستمرارية ومبرهنة القيم المتوسطة (حالة دالة رتيبة تماما)

التمرين الأول: المتتاليات العددية (6 نقاط)

في محطة لتحلية المياه بولاية وهران، يحتوي خزان على $1\ m^3$ من الماء العذب في بداية الدراسة. كل يوم يُستهلك ثلثا الكمية الموجودة في الخزان صباحا، ثم تُضاف إليه $2\ m^3$ مساء.

نرمز بـ $u_n$ إلى حجم الماء (بـ $m^3$) في الخزان في نهاية اليوم رقم $n$، حيث $u_0=1$.

نقبل أن: من أجل كل عدد طبيعي $n$: $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+2$.

  1. احسب $u_1$ و $u_2$. (1 ن)
  2. نعتبر المتتالية $(v_n)$ المعرفة على $\mathbb{N}$ بـ: $v_n=u_n-3$. بيّن أن $(v_n)$ متتالية هندسية يُطلب تعيين أساسها وحدها الأول. (1 ن)
  3. اكتب $v_n$ ثم $u_n$ بدلالة $n$. (1 ن)
  4. بيّن أن المتتالية $(u_n)$ متزايدة تماما. (1 ن)
  5. احسب $\lim_{n\to+\infty}u_n$ وفسّر النتيجة. (0.5 ن)
  6. نضع $S_n=v_0+v_1+\dots+v_n$ و $T_n=u_0+u_1+\dots+u_n$. احسب $S_n$ بدلالة $n$ ثم استنتج $T_n$ بدلالة $n$. (1.5 ن)
الحل وسلم التنقيط

حل التمرين الأول (6 ن)

  1. حساب $u_1$ و $u_2$ (1 ن)
  • $u_1=\dfrac{1}{3}\times1+2=\dfrac{7}{3}$ (0.5 ن)
  • $u_2=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{7}{3}+2=\dfrac{7}{9}+2=\dfrac{25}{9}$ (0.5 ن)
  1. المتتالية $(v_n)$ هندسية (1 ن)
  • $v_{n+1}=u_{n+1}-3=\dfrac{1}{3}u_n+2-3=\dfrac{1}{3}u_n-1=\dfrac{1}{3}(u_n-3)=\dfrac{1}{3}v_n$ (0.5 ن)
  • إذن $(v_n)$ هندسية أساسها $q=\dfrac{1}{3}$ وحدها الأول $v_0=u_0-3=-2$ (0.5 ن)
  1. عبارة الحد العام (1 ن)
  • $v_n=v_0q^n=-2\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ (0.5 ن)
  • $u_n=v_n+3=3-2\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ (0.5 ن)
  1. اتجاه التغير (1 ن)
  • $u_{n+1}-u_n=v_{n+1}-v_n=-2\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}+2\left(\dfrac{1}{3}\right)^n=2\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\left(1-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{4}{3}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ (0.5 ن)
  • هذا المقدار موجب تماما من أجل كل $n$، إذن $(u_n)$ متزايدة تماما. (0.5 ن)
  1. النهاية (0.5 ن)
  • لأن $-1<\dfrac{1}{3}<1$ فإن $\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n=0$، ومنه $\lim_{n\to+\infty}u_n=3$ (0.25 ن)
  • التفسير: يقترب حجم الماء في الخزان من $3\ m^3$ مع مرور الأيام، دون أن يبلغه أو يتجاوزه، لأن $u_n=3-2\left(\dfrac{1}{3}\right)^n<3$ من أجل كل $n$. (0.25 ن)
  1. المجموعان (1.5 ن)
  • $S_n=v_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}=-2\times\dfrac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{\frac{2}{3}}=-3\left(1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right)=-3+\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ (0.75 ن)
  • $T_n=\sum_{k=0}^{n}(v_k+3)=S_n+3(n+1)$ (0.5 ن)
  • إذن $T_n=3n+\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ (0.25 ن). تحقق: $T_0=1$ و $T_1=\dfrac{10}{3}=1+\dfrac{7}{3}$.

لم تفهم؟ اطلب من المعلم الذكي شرح هذا التمرين

التمرين الثاني: دراسة دالة ودراسة معادلة (9 نقاط)

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ بـ: $$f(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x-1}$$
و $(C_f)$ تمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى معلم متعامد ومتجانس $(O;\vec{i},\vec{j})$.

  1. بيّن أنه من أجل كل $x\neq1$: $f(x)=x+\dfrac{1}{x-1}$. (0.5 ن)
  2. احسب $\lim_{x\to-\infty}f(x)$ و $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ و $\lim_{x\to1^-}f(x)$ و $\lim_{x\to1^+}f(x)$، ثم فسّر النتيجتين الأخيرتين هندسيا. (1.5 ن)
  3. بيّن أن المستقيم $(\Delta)$ ذا المعادلة $y=x$ مقارب مائل للمنحنى $(C_f)$، ثم ادرس الوضع النسبي لـ $(C_f)$ و $(\Delta)$. (1 ن)
  4. أ) احسب $f'(x)$ وبيّن أن $f'(x)=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}$. (1 ن)

ب) ادرس إشارة $f'(x)$ ثم شكّل جدول تغيرات الدالة $f$. (1 ن)

  1. بيّن أن النقطة $\Omega(1;1)$ مركز تناظر للمنحنى $(C_f)$. (1 ن)
  2. اكتب معادلة المماس $(T)$ للمنحنى $(C_f)$ عند النقطة ذات الفاصلة $0$. (0.5 ن)
  3. بيّن أن المعادلة $f(x)=4$ تقبل حلين بالضبط $\alpha$ و $\beta$ حيث $\alpha<\beta$، ثم تحقق أن $1.3<\alpha<1.4$. (1.5 ن)
  4. ارسم $(\Delta)$ و $(T)$ و $(C_f)$ في المعلم $(O;\vec{i},\vec{j})$. (1 ن)
الحل وسلم التنقيط

حل التمرين الثاني (9 ن)

  1. كتابة $f(x)$ (0.5 ن)
  • $x+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x(x-1)+1}{x-1}=\dfrac{x^2-x+1}{x-1}=f(x)$ (0.5 ن)
  1. النهايات (1.5 ن)
  • $\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\left(x+\dfrac{1}{x-1}\right)=-\infty$ (0.25 ن)
  • $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ (0.25 ن)
  • $\lim_{x\to1^-}f(x)=1+(-\infty)=-\infty$ لأن $x-1\to0^-$ (0.25 ن)
  • $\lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty$ لأن $x-1\to0^+$ (0.25 ن)
  • التفسير: المستقيم ذو المعادلة $x=1$ مقارب عمودي للمنحنى $(C_f)$. (0.5 ن)
  1. المقارب المائل والوضع النسبي (1 ن)
  • $f(x)-x=\dfrac{1}{x-1}$ و $\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x-1}=0$ إذن $(\Delta):y=x$ مقارب مائل. (0.5 ن)
  • إشارة $f(x)-x$ هي إشارة $x-1$: إذا كان $x>1$ فإن $(C_f)$ فوق $(\Delta)$، وإذا كان $x<1$ فإن $(C_f)$ تحت $(\Delta)$. (0.5 ن)
  1. الاشتقاق والتغيرات (2 ن)
  • أ) $f'(x)=1-\dfrac{1}{(x-1)^2}=\dfrac{(x-1)^2-1}{(x-1)^2}=\dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}$ (1 ن)
  • ب) المقام موجب تماما على $\mathbb{R}\setminus\{1\}$، فإشارة $f'(x)$ هي إشارة $x(x-2)$: (0.5 ن)
  • $f'(x)>0$ على $]-\infty;0[$ وعلى $]2;+\infty[$
  • $f'(x)<0$ على $]0;1[$ وعلى $]1;2[$
  • $f(0)=-1$ و $f(2)=3$.
$x$$-\infty$$0$$1$$2$$+\infty$
$f'(x)$$+$$0$$-$||$-$$0$$+$
$f(x)$$-\infty$↗$-1$↘$-\infty\ \|\ +\infty$↘$3$↗$+\infty$

(0.5 ن للجدول)

  1. مركز التناظر (1 ن)
  • مجموعة التعريف متناظرة بالنسبة إلى $1$: إذا كان $x\neq1$ فإن $2-x\neq1$. (0.25 ن)
  • $f(2-x)+f(x)=(2-x)+\dfrac{1}{1-x}+x+\dfrac{1}{x-1}=2$ (0.5 ن)
  • إذن $\Omega(1;1)$ مركز تناظر للمنحنى $(C_f)$ لأن $\dfrac{f(2-x)+f(x)}{2}=1$. (0.25 ن)
  1. المماس عند $0$ (0.5 ن)
  • $y=f'(0)(x-0)+f(0)$ مع $f'(0)=0$ و $f(0)=-1$، إذن $(T):y=-1$ (0.5 ن)
  1. المعادلة $f(x)=4$ (1.5 ن)
  • على $]1;2]$: $f$ مستمرة ومتناقصة تماما من $+\infty$ إلى $3$ و $4\in[3;+\infty[$ فيوجد حل وحيد $\alpha\in]1;2[$. (0.5 ن)
  • على $[2;+\infty[$: $f$ مستمرة ومتزايدة تماما من $3$ إلى $+\infty$ و $4$ ينتمي إلى هذا المجال فيوجد حل وحيد $\beta>2$. (0.5 ن)
  • على $]-\infty;1[$ فإن $f(x)\le-1<4$ (القيمة العظمى $-1$)، فلا حلول هناك. إذن للمعادلة حلان بالضبط.
  • $f(1.3)=1.3+\dfrac{1}{0.3}\approx4.63>4$ و $f(1.4)=1.4+2.5=3.9<4$، و $f$ متناقصة تماما على $]1;2]$ فإن $f(1.4)<f(\alpha)<f(1.3)$ ومنه $1.3<\alpha<1.4$. (0.5 ن)
  1. الرسم (1 ن)
  • رسم المستقيمات المقاربة $x=1$ و $y=x$ والمماس $y=-1$ (0.5 ن)
  • رسم المنحنى بفرعيه المتناظرين بالنسبة إلى $\Omega(1;1)$ مروراً بالنقطتين $(0;-1)$ و $(2;3)$ (0.5 ن)

لم تفهم؟ اطلب من المعلم الذكي شرح هذا التمرين

التمرين الثالث: الاستمرارية والنهايات (5 نقاط)

نعتبر الدالة $g$ المعرفة على المجال $[-4;+\infty[$ بـ:
$$g(x)=\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}\ \text{ من أجل } x\neq0,\qquad g(0)=\dfrac{1}{4}$$

  1. بيّن أنه من أجل كل $x\in[-4;+\infty[$ مع $x\neq0$: $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}$. (1 ن)
  2. أ) بيّن أن $g$ مستمرة عند $0$. (0.5 ن)

ب) احسب $\lim_{x\to+\infty}g(x)$. (0.5 ن)

  1. بيّن أن العبارة السابقة صحيحة أيضا من أجل $x=0$، ثم استنتج اتجاه تغير الدالة $g$ على $[-4;+\infty[$. (1 ن)
  2. عيّن مجموعة قيم $g$، أي $g([-4;+\infty[)$. (0.5 ن)
  3. بيّن أن المعادلة $g(x)=\dfrac{1}{5}$ تقبل حلا وحيدا في $[-4;+\infty[$ ثم عيّنه. (1.5 ن)
الحل وسلم التنقيط

حل التمرين الثالث (5 ن)

  1. تبسيط $g(x)$ (1 ن)
  • من أجل $x\neq0$، نضرب البسط والمقام في المرافق $\sqrt{x+4}+2$ (الذي لا ينعدم):
  • $g(x)=\dfrac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\dfrac{x+4-4}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}$ (1 ن)
  1. أ) الاستمرارية عند $0$ (0.5 ن)
  • $\lim_{x\to0}g(x)=\lim_{x\to0}\dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}=\dfrac{1}{4}=g(0)$، إذن $g$ مستمرة عند $0$. (0.5 ن)

ب) النهاية عند $+\infty$ (0.5 ن)

  • $\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x+4}+2\right)=+\infty$ ومنه $\lim_{x\to+\infty}g(x)=0$ (0.5 ن)
  1. اتجاه التغير (1 ن)
  • من أجل $x=0$: $\dfrac{1}{\sqrt{4}+2}=\dfrac{1}{4}=g(0)$ إذن العبارة صحيحة على كامل $[-4;+\infty[$. (0.5 ن)
  • الدالة $x\mapsto\sqrt{x+4}+2$ متزايدة تماما وموجبة تماما على $[-4;+\infty[$، فمقلوبها $g$ متناقصة تماما على $[-4;+\infty[$. (0.5 ن)
  1. مجموعة القيم (0.5 ن)
  • $g$ مستمرة ومتناقصة تماما، و $g(-4)=\dfrac{1}{0+2}=\dfrac{1}{2}$ و $\lim_{x\to+\infty}g(x)=0$ (دون بلوغها)، إذن $g([-4;+\infty[)=\left]0;\dfrac{1}{2}\right]$ (0.5 ن)
  1. المعادلة $g(x)=\dfrac{1}{5}$ (1.5 ن)
  • $\dfrac{1}{5}\in\left]0;\dfrac{1}{2}\right]$ و $g$ مستمرة ومتناقصة تماما على $[-4;+\infty[$، فحسب مبرهنة القيم المتوسطة (نتيجتها) للمعادلة حل وحيد. (0.75 ن)
  • الحل: $\dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}=\dfrac{1}{5}$ يكافئ $\sqrt{x+4}=3$ يكافئ $x+4=9$، إذن $x=5$. (0.75 ن)

لم تفهم؟ اطلب من المعلم الذكي شرح هذا التمرين

وثيقة أصلية من إعداد درس dz، روجعت قبل النشر مراجعة مستقلة بتاريخ 2026-10-18. كيف نعدّ المحتوى

أبلغ عن خطأ في هذه الصفحة

نماذج أخرى