الفرض الأول في العلوم الفيزيائية للفصل الأول، السنة الثالثة ثانوي (رياضيات)
المدة: ساعة واحدة (60 دقيقة) المحاور: المتابعة الزمنية لتحول كيميائي: جدول التقدم، السرعة الحجمية للتفاعل، زمن نصف التفاعل، العوامل الحركية، التحولات النووية: تركيب النواة، التفكك $\beta^-$ وقانونا الانحفاظ، قانون التناقص الإشعاعي، ثابت النشاط الإشعاعي، النشاط وزمن نصف العمر
التمرين الأول: المتابعة الزمنية لتفكك الماء الأكسجيني (8 نقاط)
في حصة الأعمال المخبرية بثانوية الإخوة بوعافية بسطيف، أراد التلميذ ياسين متابعة تفكك الماء الأكسجيني $H_2O_2$ بوجود شوارد الحديد الثلاثي $Fe^{3+}$ التي تلعب دور وسيط. وضع في حوجلة حجما $V_s=50{,}0\ mL$ من محلول الماء الأكسجيني تركيزه المولي $C=0{,}100\ mol/L$ وأضاف قطرات من محلول كلور الحديد الثلاثي عند اللحظة $t=0$، ثم جمع غاز ثنائي الأكسجين المنطلق وقاس حجمه $V(O_2)$ في شروط التجربة التي يكون فيها الحجم المولي $V_m=24\ L/mol$.
معادلة التفاعل المنمذج للتحول:
$$2H_2O_2\,(aq)=2H_2O\,(l)+O_2\,(g)$$
جمعت النتائج في الجدول الآتي:
| $t$ (min) | 0 | 3 | 7 | 12 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $V(O_2)$ (mL) | 0 | 15,6 | 30,2 | 41,9 | 51,9 | 57,0 |
- أنشئ جدول تقدم التفاعل، ثم أوجد التقدم الأعظمي $x_{max}$. (1,5 ن)
- اكتب عبارة التقدم $x(t)$ بدلالة $V(O_2)$ و$V_m$، ثم احسب قيمته عند $t=12\ min$ واستنتج التركيز المولي للماء الأكسجيني المتبقي في المحلول عند هذه اللحظة. (1,5 ن)
- أ) اكتب عبارة السرعة الحجمية للتفاعل $v(t)$ بدلالة $V_s$ و$V_m$ و$\dfrac{dV(O_2)}{dt}$. (1 ن)
ب) المماس للمنحنى $V(O_2)=f(t)$ عند $t=0$ يمر بالنقطتين $(0\ min\,;\,0\ mL)$ و$(10\ min\,;\,60\ mL)$. احسب السرعة الحجمية الابتدائية للتفاعل بوحدة $mol\cdot L^{-1}\cdot min^{-1}$. (1 ن)
- عرّف زمن نصف التفاعل $t_{1/2}$، ثم حدد قيمته اعتمادا على الجدول. (1,5 ن)
- كيف تتطور السرعة الحجمية للتفاعل مع الزمن؟ علل ذلك. ثم بيّن كيف يتغير $t_{1/2}$ إذا أُعيدت التجربة عند درجة حرارة أعلى مع بقاء باقي الشروط ثابتة. (1,5 ن)
الحل وسلم التنقيط
حل التمرين الأول (8 نقاط)
1. جدول التقدم (1,5 ن)
$n_0(H_2O_2)=C\cdot V_s=0{,}100\times50{,}0\times10^{-3}=5{,}0\times10^{-3}\ mol$
| الحالة | التقدم | $n(H_2O_2)$ | $n(H_2O)$ | $n(O_2)$ |
|---|---|---|---|---|
| ابتدائية | 0 | $5{,}0\times10^{-3}$ | وفير | 0 |
| انتقالية | $x$ | $5{,}0\times10^{-3}-2x$ | وفير | $x$ |
| نهائية | $x_{max}$ | $5{,}0\times10^{-3}-2x_{max}$ | وفير | $x_{max}$ |
- إنشاء الجدول بصيغه الثلاث: 1 ن
- التفاعل تام، فالماء الأكسجيني هو المتفاعل المحدّ: $5{,}0\times10^{-3}-2x_{max}=0$ ومنه $x_{max}=2{,}5\times10^{-3}\ mol$: 0,5 ن
2. (1,5 ن)
- من الجدول $n(O_2)=x$، و$n(O_2)=\dfrac{V(O_2)}{V_m}$ ومنه $x(t)=\dfrac{V(O_2)}{V_m}$: 0,5 ن
- عند $t=12\ min$: $x=\dfrac{41{,}9\times10^{-3}}{24}=1{,}75\times10^{-3}\ mol$: 0,5 ن
- $n(H_2O_2)=5{,}0\times10^{-3}-2\times1{,}75\times10^{-3}=1{,}5\times10^{-3}\ mol$ ومنه $[H_2O_2]=\dfrac{1{,}5\times10^{-3}}{50{,}0\times10^{-3}}=3{,}0\times10^{-2}\ mol/L$: 0,5 ن
3. (2 ن)
أ) $v(t)=\dfrac{1}{V_s}\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{1}{V_s\,V_m}\dfrac{dV(O_2)}{dt}$ (1 ن)
ب) ميل المماس: $\dfrac{dV}{dt}\Big|_{0}=\dfrac{60-0}{10-0}=6{,}0\ mL/min=6{,}0\times10^{-3}\ L/min$ (0,5 ن)
$v(0)=\dfrac{6{,}0\times10^{-3}}{50{,}0\times10^{-3}\times24}=5{,}0\times10^{-3}\ mol\cdot L^{-1}\cdot min^{-1}$ (0,5 ن)
4. (1,5 ن)
- التعريف: زمن نصف التفاعل هو المدة اللازمة لبلوغ التقدم نصف قيمته النهائية، أي $x(t_{1/2})=\dfrac{x_{max}}{2}$: 0,5 ن
- $x(t_{1/2})=1{,}25\times10^{-3}\ mol$ ومنه $V(O_2)=1{,}25\times10^{-3}\times24=30\ mL$: 0,5 ن
- من الجدول $V=30{,}2\ mL$ عند $t=7\ min$ إذن $t_{1/2}\approx7\ min$: 0,5 ن
5. (1,5 ن)
- السرعة الحجمية تتناقص مع الزمن (ميل المماس يتناقص): 0,5 ن
- التعليل: تركيز المتفاعل $H_2O_2$ يتناقص مع الزمن، وهو عامل حركي يحدد سرعة التفاعل: 0,5 ن
- رفع درجة الحرارة يزيد سرعة التفاعل، فيتناقص زمن نصف التفاعل $t_{1/2}$: 0,5 ن
التمرين الثاني: اليود 131 في الطب النووي (12 نقطة)
يُستعمل اليود المشع $^{131}_{53}I$ في تشخيص أمراض الغدة الدرقية وعلاجها. وهو نظير مشع يتفكك وفق النمط $\beta^-$، وزمن نصف عمره $t_{1/2}=8{,}0$ أيام.
حُضّرت في مخبر مستشفى عينة من اليود 131 نشاطها عند لحظة التحضير $t=0$ هو $A_0=4{,}0\times10^{8}\ Bq$.
نعطي: $N_A=6{,}02\times10^{23}\ mol^{-1}$، $M(I)=131\ g/mol$، $\ln2\approx0{,}693$، $1$ يوم $=86400\ s$.
مقتطف من الجدول الدوري: $_{52}Te$ ، $_{54}Xe$ ، $_{55}Cs$.
- أعط تركيب نواة اليود $^{131}_{53}I$ (عدد البروتونات وعدد النيوترونات). (1,5 ن)
- اكتب معادلة تفكك نواة اليود 131، مبيّنا قانوني الانحفاظ المستعملين، وتعرّف على النواة البنت من بين الأنوية المقترحة. (2 ن)
- عرّف زمن نصف العمر $t_{1/2}$، ثم بيّن انطلاقا من قانون التناقص الإشعاعي $N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}$ أن $\lambda=\dfrac{\ln2}{t_{1/2}}$، واحسب قيمة ثابت النشاط الإشعاعي $\lambda$ بوحدة $s^{-1}$. (2,5 ن)
- علما أن $A(t)=\lambda\,N(t)$، احسب عدد الأنوية $N_0$ الموجودة في العينة عند $t=0$، ثم استنتج كتلتها $m_0$. (3 ن)
- احسب نشاط العينة بعد $24$ يوما من تحضيرها، ثم حدد المدة اللازمة لكي يصبح نشاطها مساويا $1\%$ من قيمته الابتدائية. (3 ن)
الحل وسلم التنقيط
حل التمرين الثاني (12 نقطة)
1. تركيب النواة (1,5 ن)
- عدد البروتونات: $Z=53$ (0,75 ن)
- عدد النيوترونات: $N=A-Z=131-53=78$ (0,75 ن)
2. معادلة التفكك (2 ن)
$^{131}_{53}I\longrightarrow\,^{A}_{Z}X+\,^{\;0}_{-1}e$
- قانونا الانحفاظ (انحفاظ العدد الكتلي وانحفاظ العدد الشحني): $131=A+0$ ومنه $A=131$، و$53=Z-1$ ومنه $Z=54$ (1 ن)
- النواة البنت هي نواة الكزينون: $^{131}_{53}I\longrightarrow\,^{131}_{54}Xe+\,^{\;0}_{-1}e$ (1 ن)
3. (2,5 ن)
- التعريف: زمن نصف العمر هو المدة اللازمة لتفكك نصف عدد الأنوية الابتدائية لعينة مشعة: 0,5 ن
- عند $t=t_{1/2}$ يكون $N=\dfrac{N_0}{2}$، أي $N_0e^{-\lambda t_{1/2}}=\dfrac{N_0}{2}$، ومنه $e^{\lambda t_{1/2}}=2$، أي $\lambda=\dfrac{\ln2}{t_{1/2}}$: 1 ن
- $t_{1/2}=8{,}0\times86400=6{,}91\times10^{5}\ s$ ومنه $\lambda=\dfrac{0{,}693}{6{,}91\times10^{5}}\approx1{,}0\times10^{-6}\ s^{-1}$: 1 ن
4. (3 ن)
- $N_0=\dfrac{A_0}{\lambda}=\dfrac{4{,}0\times10^{8}}{1{,}0\times10^{-6}}=4{,}0\times10^{14}$ نواة: 1,5 ن
- $m_0=\dfrac{N_0}{N_A}\,M=\dfrac{4{,}0\times10^{14}}{6{,}02\times10^{23}}\times131\approx8{,}7\times10^{-8}\ g$: 1,5 ن
5. (3 ن)
- $t=24$ يوما $=3\,t_{1/2}$، ومنه $A=A_0\,e^{-\lambda t}=\dfrac{A_0}{2^{3}}=\dfrac{4{,}0\times10^{8}}{8}=5{,}0\times10^{7}\ Bq$: 1,5 ن
- $A=0{,}01\,A_0$ يعني $e^{-\lambda t}=\dfrac{1}{100}$، ومنه $t=\dfrac{\ln100}{\lambda}=t_{1/2}\,\dfrac{\ln100}{\ln2}=8{,}0\times\dfrac{4{,}61}{0{,}693}\approx53$ يوما: 1,5 ن