الاختبار الأول في الرياضيات للفصل الأول، السنة الرابعة متوسط

حل التمرين الأول (4 نقاط)

1. كتابة $A$ على الشكل $a\sqrt{5}$ (1.5 ن):

• $\sqrt{180}=\sqrt{36\times 5}=6\sqrt{5}$ (0.5)
• $\sqrt{45}=\sqrt{9\times 5}=3\sqrt{5}$ و $2\sqrt{20}=2\sqrt{4\times 5}=4\sqrt{5}$ (0.5)
• $A=6\sqrt{5}-3\sqrt{5}+4\sqrt{5}=7\sqrt{5}$ (0.5)

2. أ) حساب $B$ (0.75 ن):

$B=(2\sqrt{3})^{2}-1^{2}=4\times 3-1=12-1=11$ (0.5)، وهو عدد طبيعي (0.25).

ب) $C=\dfrac{10}{\sqrt{5}}=\dfrac{10\times\sqrt{5}}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\dfrac{10\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}$ (0.75)

3. حساب $D$ (1 ن):

• البسط: $3\times 4\times 10^{5-8}=12\times 10^{-3}$ (0.25)
• $D=\dfrac{12\times 10^{-3}}{6\times 10^{-4}}=2\times 10^{-3-(-4)}=2\times 10^{1}$ (0.5)
• الكتابة العلمية: $D=2\times 10^{1}$ (وهو العدد 20) (0.25)

(ملاحظة: 1.5 + 0.75 + 0.75 + 1 = 4)

حل التمرين الثاني (4 نقاط)

1. النشر والتبسيط (1 ن):

• $(2x-3)^{2}=4x^{2}-12x+9$ (0.25)
• $(x+2)(2x-3)=2x^{2}-3x+4x-6=2x^{2}+x-6$ (0.25)
• $E=4x^{2}-12x+9-(2x^{2}+x-6)=4x^{2}-12x+9-2x^{2}-x+6=2x^{2}-13x+15$ (0.5)

2. التحليل (1 ن):

• العامل المشترك $(2x-3)$ (0.25):

$E=(2x-3)\left[(2x-3)-(x+2)\right]$ (0.5)

• $E=(2x-3)(x-5)$ (0.25)

3. حل المعادلة (1 ن):

$(2x-3)(x-5)=0$ يعني $2x-3=0$ أو $x-5=0$ (0.5)

أي $x=\dfrac{3}{2}$ أو $x=5$. مجموعة الحلول: $\left\{\dfrac{3}{2};5\right\}$ (0.5)

4. حل المتراجحة (1 ن):

• $3x-5x\leq 1+7$ أي $-2x\leq 8$ (0.25)
• بالقسمة على $-2$ (وهو عدد سالب) يتغير اتجاه المتراجحة: $x\geq -4$ (0.25)
• التمثيل: نرسم مستقيما مدرجا، ونضع نقطة عند $-4$ بقوس مغلق (لأن $-4$ حل)، ونظلل الجزء الواقع على يمين $-4$ ونحذف الجزء الأيسر (0.5)

حل التمرين الثالث (6 نقاط)

1. الإنشاء (1 ن): إنشاء المثلث $ABC$ بالأطوال المعطاة (0.5)، وتعيين $M$ على $[AB]$ و $N$ على $[AC]$ بالبعدين المطلوبين (0.5).

2. المثلث $ABC$ قائم في $A$ (1 ن):

• $BC^{2}=10^{2}=100$ (0.25)
• $AB^{2}+AC^{2}=36+64=100$ (0.25)
• بما أن $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ فحسب خاصية فيثاغورس العكسية المثلث $ABC$ قائم في $A$ (0.5)

3. توازي $(MN)$ و $(BC)$ (1.5 ن):

• $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{2.4}{6}=0.4$ (0.5)
• $\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{3.2}{8}=0.4$ (0.5)
• إذن $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$ والنقط $A, M, B$ وكذا $A, N, C$ على استقامة واحدة وبنفس الترتيب، فحسب عكس مبرهنة طالس $(MN)\parallel(BC)$ (0.5)

4. حساب $MN$ (1 ن):

حسب مبرهنة طالس: $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$ (0.5)

$MN=\dfrac{0.4\times 10}{1}=4$ cm (0.5)

5. المساحتان والنسبة (1.5 ن):

• المثلث $AMN$ قائم في $A$ لأن $(MN)\parallel(BC)$ و$(AB)\perp(AC)$، أو لأن $M\in[AB]$ و $N\in[AC]$ و $(AB)\perp(AC)$ (0.25)
• $\mathcal{A}_{AMN}=\dfrac{AM\times AN}{2}=\dfrac{2.4\times 3.2}{2}=3.84$ cm² (0.5)
• $\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{6\times 8}{2}=24$ cm² (0.25)
• النسبة: $\dfrac{3.84}{24}=0.16$ (0.5)

(ملاحظة: $0.16=0.4^{2}$)

حل الوضعية الإدماجية (6 نقاط)

1. حساب PGCD (2 ن):

• $540=396\times 1+144$ (0.5)
• $396=144\times 2+108$ (0.5)
• $144=108\times 1+36$ (0.25)
• $108=36\times 3+0$ (0.25)

آخر باق غير معدوم هو 36، إذن $PGCD(540;396)=36$ (0.25). أكبر عدد ممكن من الحزم هو 36 حزمة (0.25).

2. محتوى كل حزمة (1 ن):

• عدد الكراريس: $540\div 36=15$ كراسا (0.5)
• عدد الأقلام: $396\div 36=11$ قلما (0.5)

3. الأثمان (1.5 ن):

• ثمن حزمة: $15\times 45+11\times 30=675+330=1005$ DA (0.5)
• الثمن الإجمالي: $36\times 1005=36180$ DA (0.5)
• بما أن $36180<40000$ فالميزانية 40000 DA تكفي (0.5)

4. الكسر واستنتاج (1.5 ن):

• $\dfrac{396}{540}=\dfrac{396\div 36}{540\div 36}=\dfrac{11}{15}$ (0.5)
• الكسر $\dfrac{11}{15}$ غير قابل للاختزال لأن $PGCD(11;15)=1$ أي أن العددين 11 و 15 أوليان فيما بينهما (0.5)
• لذلك لا يوجد قاسم مشترك أكبر من 36 للعددين 540 و 396، فلا يمكن تكوين أكثر من 36 حزمة متماثلة دون أن يتبقى شيء (0.5)