الفرض الأول في الرياضيات للفصل الأول، السنة الرابعة متوسط

حل التمرين الأول (3 نقاط)

1. حساب $PGCD(756\,;\,588)$ بخوارزمية إقليدس (1.5 ن):

• $756=588\times 1+168$ (0.5 ن)
• $588=168\times 3+84$ (0.5 ن)
• $168=84\times 2+0$ (0.25 ن)
• آخر باقٍ غير معدوم هو $84$، إذن $PGCD(756\,;\,588)=84$ (0.25 ن)

2. عدد العلب الأكبر هو $PGCD(756\,;\,588)=84$ علبة، لأن عدد العلب يجب أن يقسم العددين معاً وأن يكون أكبر ما يمكن (0.5 ن).

• عدد الأقلام في كل علبة: $756\div 84=9$ أقلام.
• عدد الكراريس في كل علبة: $588\div 84=7$ كراريس (0.5 ن).

3. $\dfrac{588}{756}=\dfrac{588\div 84}{756\div 84}=\dfrac{7}{9}$ (0.25 ن). الكسر غير قابل للاختزال لأن $PGCD(7\,;\,9)=1$، فالعددان أوليان فيما بينهما (0.25 ن).

حل التمرين الثاني (4 نقاط)

1. (1.5 ن)

• $\sqrt{48}=\sqrt{16\times 3}=4\sqrt{3}$ (0.5 ن)
• $\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=2\sqrt{3}$، إذن $3\sqrt{12}=6\sqrt{3}$ (0.5 ن)
• $\sqrt{75}=\sqrt{25\times 3}=5\sqrt{3}$
• $A=4\sqrt{3}-6\sqrt{3}+5\sqrt{3}=3\sqrt{3}$ (0.5 ن)

2. (1 ن)

• $B=(\sqrt{7})^2-2\times 2\times\sqrt{7}+2^2+4\sqrt{7}$ (0.5 ن)
• $B=7-4\sqrt{7}+4+4\sqrt{7}=11$، وهو عدد طبيعي (0.5 ن)

3. (1 ن)

• $C=\dfrac{6(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}=\dfrac{6(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2}$ (0.5 ن)
• $C=\dfrac{6(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3}=2\sqrt{5}+2\sqrt{2}$ (0.5 ن)

4. (0.5 ن)

• $3\sqrt{5}=\sqrt{9\times 5}=\sqrt{45}$ و$2\sqrt{11}=\sqrt{4\times 11}=\sqrt{44}$.
• بما أن $45>44$ فإن $3\sqrt{5}>2\sqrt{11}$.

حل التمرين الثالث (3 نقاط)

1. (1 ن)

• $E=(9x^2-6x+1)-16$ (0.5 ن)
• $E=9x^2-6x-15$ (0.5 ن)

2. $E=(3x-1)^2-4^2$ فرق مربعين (0.5 ن).

• $E=(3x-1-4)(3x-1+4)=(3x-5)(3x+3)$ (0.5 ن)

3. جداء عاملين معدوم يعني أن أحدهما معدوم على الأقل (0.25 ن):

• $3x-5=0$ معناه $x=\dfrac{5}{3}$ (0.25 ن)
• $3x+3=0$ معناه $x=-1$ (0.25 ن)
• للمعادلة حلان: $\dfrac{5}{3}$ و$-1$ (0.25 ن)

حل التمرين الرابع (6 نقاط)

1. الإنشاء (1 ن):

• نرسم $[AB]$ بطول $6$ سم.
• نرسم قوساً مركزه $A$ ونصف قطره $8$ سم، وقوساً مركزه $B$ ونصف قطره $10$ سم. يتقاطعان في $C$.
• نعيّن $M$ على $[AB]$ حيث $AM=3.6$ سم، و$N$ على $[AC]$ حيث $AN=4.8$ سم.
• (0.5 ن للمثلث بأبعاده، و0.5 ن للنقطتين $M$ و$N$)

2. (1 ن)

• $BC^2=10^2=100$ (0.25 ن)
• $AB^2+AC^2=36+64=100$ (0.25 ن)
• بما أن $BC^2=AB^2+AC^2$، فحسب عكس مبرهنة فيثاغورس المثلث $ABC$ قائم في $A$ (0.5 ن).

3. (1.5 ن)

• $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3.6}{6}=0.6$ (0.5 ن)
• $\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{4.8}{8}=0.6$ (0.5 ن)
• إذن $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$، والنقاط $A,M,B$ و$A,N,C$ على استقامة واحدة وبنفس الترتيب. حسب عكس مبرهنة طالس $(MN)\parallel(BC)$ (0.5 ن).

4. (1 ن)

• بما أن $(MN)\parallel(BC)$ فحسب مبرهنة طالس: $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$ (0.5 ن)
• $\dfrac{MN}{10}=0.6$، ومنه $MN=10\times 0.6=6$ سم (0.5 ن)

5. (1.5 ن)

• $BM=AB-AM=6-3.6=2.4$ سم (0.5 ن)
• في المثلث $ABC$: $M\in(BA)$ و$P\in(BC)$ و$(MP)\parallel(AC)$، فحسب مبرهنة طالس: $\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{BP}{BC}$ (0.5 ن)
• $\dfrac{2.4}{6}=\dfrac{BP}{10}$، ومنه $BP=\dfrac{2.4\times 10}{6}=4$ سم (0.5 ن)

حل الوضعية الإدماجية (4 نقاط)

1. (1 ن)

• $\sqrt{45}=\sqrt{9\times 5}=3\sqrt{5}$، إذن $L=2\times 3\sqrt{5}+\sqrt{20}$.
• $\sqrt{20}=\sqrt{4\times 5}=2\sqrt{5}$ (0.5 ن)
• $L=6\sqrt{5}+2\sqrt{5}=8\sqrt{5}$ و$\ell=2\sqrt{5}$ (0.5 ن)

2. المساحة $S=L\times\ell=8\sqrt{5}\times 2\sqrt{5}=16\times 5=80\ m^2$ (1 ن)
3. (1.5 ن)

• المحيط $P=2(L+\ell)=2(8\sqrt{5}+2\sqrt{5})=20\sqrt{5}$ م (0.5 ن)
• التكلفة $=20\sqrt{5}\times 450=9000\sqrt{5}$ (0.5 ن)
• $9000\times 2.236=20124$، وبالتقريب إلى الوحدة التكلفة حوالي $20124\ DA$ (0.5 ن)

4. (0.5 ن)

• على الطول: $8\sqrt{5}\div 2\sqrt{5}=4$، وعلى العرض: $2\sqrt{5}\div 2\sqrt{5}=1$. ضلع الحوض يقسم البعدين، فالتقسيم ممكن دون أن يبقى جزء من الأرض (0.25 ن).
• عدد الأحواض $=4\times 1=4$ أحواض، ويمكن التحقق: مساحة الحوض $(2\sqrt{5})^2=20\ m^2$ و$80\div 20=4$ (0.25 ن)