الفرض الأول في التكنولوجيا للفصل الأول، السنة الثالثة ثانوي (تقني رياضي)
المدة: ساعة واحدة (60 دقيقة) المحاور: دراسة مقاومة المواد: الاستطالة البسيطة (الشد) وشرط المقاومة، السكون: توازن جسم صلب تحت تأثير قوى، دراسة نقل الحركة: البكرات والحزام، المسننات، السرعة الزاوية والسرعة الخطية، الاستطاعة وعزم الدوران
التمرين الأول: مقاومة قضبان تعليق منصة رفع (10 نقاط)
تستعمل ورشة لصيانة الشاحنات في ولاية سطيف منصة رفع معلّقة بقضيبين عموديين متماثلين (1) و(2) مصنوعين من فولاذ. تحمل المنصة مع حمولتها كتلة إجمالية $m = 7\,200\ \text{kg}$. نأخذ $g = 10\ \text{N/kg}$ ونهمل وزن القضيبين.
معطيات:
| المقدار | القيمة |
|---|---|
| طول كل قضيب | $L = 2\ \text{m}$ |
| الحد المرن للفولاذ | $R_{e} = 240\ \text{MPa}$ |
| معامل الأمان | $s = 1{,}5$ |
| معامل يونغ | $E = 2\times 10^{5}\ \text{MPa}$ |
| الأقطار القياسية المتوفرة | 16 ، 18 ، 20 (بوحدة mm) |
ملاحظة: $1\ \text{MPa} = 1\ \text{N/mm}^2$.
الأسئلة:
- (1,5 ن) بتطبيق شرط توازن المنصة وباستعمال التماثل، أوجد قيمة الجهد الناظمي $N$ في كل قضيب.
- (1 ن) ما نوع الإجهاد الذي يتعرض له كل قضيب؟ اكتب عبارة الإجهاد الناظمي $\sigma$ بدلالة $N$ ومساحة المقطع $S$.
- (1,5 ن) نفترض في البداية أن قطر القضيب $d = 16\ \text{mm}$. احسب مساحة المقطع $S$ ثم الإجهاد $\sigma$.
- (1,5 ن) أوجد الإجهاد المسموح $R_{pe}$ واكتب شرط المقاومة، ثم تحقق هل القطر $16\ \text{mm}$ مقبول.
- (2 ن) احسب أصغر قطر نظري $d_{min}$ يحقق شرط المقاومة، ثم اختر القطر القياسي المناسب.
- (2,5 ن) من أجل القطر $d = 18\ \text{mm}$: احسب الإجهاد $\sigma$، ثم الاستطالة $\Delta L$ لكل قضيب بعد التحميل (قانون هوك: $\sigma = E\cdot\dfrac{\Delta L}{L}$).
الحل وسلم التنقيط
حل التمرين الأول (10 نقاط)
1. الجهد الناظمي في كل قضيب (1,5 ن)
- الوزن الكلي: $P = m\cdot g = 7\,200\times 10 = 72\,000\ \text{N}$ (0,5 ن)
- شرط التوازن: $N_1 + N_2 = P$ (0,5 ن)
- التماثل يعطي $N_1 = N_2 = N$ ، إذن $N = \dfrac{72\,000}{2} = 36\,000\ \text{N}$ (0,5 ن)
2. نوع الإجهاد (1 ن)
- كل قضيب يتعرض إلى الشد البسيط (الاستطالة البسيطة). (0,5 ن)
- $\sigma = \dfrac{N}{S}$ (0,5 ن)
3. من أجل $d = 16\ \text{mm}$ (1,5 ن)
- $S = \dfrac{\pi d^2}{4} = \dfrac{\pi\times 16^2}{4} \approx 201{,}06\ \text{mm}^2$ (0,75 ن)
- $\sigma = \dfrac{36\,000}{201{,}06} \approx 179{,}05\ \text{MPa}$ (0,75 ن)
4. شرط المقاومة (1,5 ن)
- $R_{pe} = \dfrac{R_e}{s} = \dfrac{240}{1{,}5} = 160\ \text{MPa}$ (0,5 ن)
- شرط المقاومة: $\sigma \le R_{pe}$ (0,5 ن)
- $179{,}05 > 160$ ، إذن شرط المقاومة غير محقق والقطر $16\ \text{mm}$ مرفوض. (0,5 ن)
5. القطر الأدنى (2 ن)
- $S \ge \dfrac{N}{R_{pe}} = \dfrac{36\,000}{160} = 225\ \text{mm}^2$ (0,75 ن)
- $d_{min} = \sqrt{\dfrac{4S}{\pi}} = \sqrt{\dfrac{4\times 225}{\pi}} \approx 16{,}93\ \text{mm}$ (0,75 ن)
- القطر القياسي الأصغر الذي يحقق الشرط هو $d = 18\ \text{mm}$ (0,5 ن)
6. من أجل $d = 18\ \text{mm}$ (2,5 ن)
- $S = \dfrac{\pi\times 18^2}{4} \approx 254{,}47\ \text{mm}^2$ (0,5 ن)
- $\sigma = \dfrac{36\,000}{254{,}47} \approx 141{,}47\ \text{MPa} < 160\ \text{MPa}$ ، الشرط محقق (0,75 ن)
- $\Delta L = \dfrac{\sigma\cdot L}{E} = \dfrac{141{,}47\times 2\,000}{2\times 10^{5}}$ (0,75 ن)
- $\Delta L \approx 1{,}41\ \text{mm}$ (0,5 ن)
التمرين الثاني: دراسة سلسلة نقل الحركة لناقل شريطي (10 نقاط)
في وحدة لتوضيب التمور بمدينة بسكرة، يُدار الناقل الشريطي بواسطة محرك كهربائي عبر سلسلة نقل حركة مكوّنة من مرحلتين:
- المرحلة الأولى: نقل بالبكرتين والحزام: بكرة محركة (1) قطرها $d_1 = 80\ \text{mm}$ مثبتة على عمود المحرك، وبكرة مُحرَّكة (2) قطرها $d_2 = 200\ \text{mm}$.
- المرحلة الثانية: مسنّنان أسطوانيان: العجلة (3) مثبتة على نفس عمود البكرة (2) وعدد أسنانها $z_3 = 20$ سنّاً، والعجلة (4) عدد أسنانها $z_4 = 60$ سنّاً ومثبتة على عمود أسطوانة الناقل.
معطيات أخرى:
| المقدار | القيمة |
|---|---|
| سرعة دوران المحرك | $N_m = 1\,440\ \text{دور/min}$ |
| استطاعة المحرك | $P_m = 3\ \text{kW}$ |
| مردود سلسلة النقل | $\eta = 0{,}9$ |
| قطر أسطوانة الناقل | $D = 200\ \text{mm}$ |
نهمل انزلاق الحزام.
الأسئلة:
- (2 ن) احسب نسبة النقل $r_1$ للمرحلة الأولى، ثم سرعة دوران البكرة (2): $N_2$.
- (2 ن) احسب نسبة النقل $r_2$ للمرحلة الثانية، ثم سرعة دوران العجلة (4): $N_4$.
- (1 ن) استنتج نسبة النقل الإجمالية $r = \dfrac{N_4}{N_m}$.
- (1,5 ن) احسب السرعة الزاوية $\omega_4$ لأسطوانة الناقل بوحدة rad/s.
- (1,5 ن) احسب السرعة الخطية $V$ للشريط على سطح الأسطوانة بوحدة m/s.
- (2 ن) احسب الاستطاعة $P_4$ عند الأسطوانة، ثم عزم الدوران $C_4$ المطبَّق عليها بوحدة N.m.
الحل وسلم التنقيط
حل التمرين الثاني (10 نقاط)
1. المرحلة الأولى (2 ن)
- $r_1 = \dfrac{N_2}{N_1} = \dfrac{d_1}{d_2} = \dfrac{80}{200} = 0{,}4$ (1 ن)
- $N_2 = r_1\cdot N_m = 0{,}4\times 1\,440 = 576\ \text{دور/min}$ (1 ن)
2. المرحلة الثانية (2 ن)
- $r_2 = \dfrac{N_4}{N_3} = \dfrac{z_3}{z_4} = \dfrac{20}{60} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333$ (0,5 ن + 0,5 ن)
- العجلة (3) مثبتة مع البكرة (2) أي $N_3 = N_2 = 576\ \text{دور/min}$ (0,5 ن)
- $N_4 = \dfrac{576}{3} = 192\ \text{دور/min}$ (0,5 ن)
3. نسبة النقل الإجمالية (1 ن)
- $r = r_1\times r_2 = 0{,}4\times\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{15} \approx 0{,}133$ (0,5 ن)
- تحقق: $\dfrac{192}{1\,440} = 0{,}133$ (0,5 ن)
4. السرعة الزاوية (1,5 ن)
- $\omega_4 = \dfrac{2\pi N_4}{60}$ (0,75 ن)
- $\omega_4 = \dfrac{2\pi\times 192}{60} \approx 20{,}11\ \text{rad/s}$ (0,75 ن)
5. السرعة الخطية (1,5 ن)
- $R = \dfrac{D}{2} = 0{,}1\ \text{m}$ (0,5 ن)
- $V = \omega_4\cdot R = 20{,}11\times 0{,}1$ (0,5 ن)
- $V \approx 2{,}01\ \text{m/s}$ (0,5 ن)
6. الاستطاعة وعزم الدوران (2 ن)
- $P_4 = \eta\cdot P_m = 0{,}9\times 3\,000 = 2\,700\ \text{W}$ (0,75 ن)
- $C_4 = \dfrac{P_4}{\omega_4}$ (0,5 ن)
- $C_4 = \dfrac{2\,700}{20{,}11} \approx 134{,}3\ \text{N.m}$ (0,75 ن)