الاختبار الأول في الرياضيات للفصل الأول، السنة الثانية ثانوي (علوم تجريبية)

حل التمرين الأول (5 نقاط)

1. (0,5 ن)

• الطول الموازي للجدار هو $40-2x$. بما أن الأبعاد موجبة تماما: $x>0$ و $40-2x>0$ أي $x<20$، إذن $0<x<20$. (0,25)
• $A(x)=x(40-2x)=-2x^{2}+40x$. (0,25)

2. (1,5 ن)

$A(x)=150 \iff -2x^{2}+40x-150=0 \iff x^{2}-20x+75=0$. (0,5)

$\Delta=400-300=100=10^{2}$. (0,25)

$x_1=\dfrac{20-10}{2}=5$ و $x_2=\dfrac{20+10}{2}=15$، والقيمتان تنتميان إلى $]0;20[$. (0,5)

• إذا كان $x=5$: الأبعاد $5\text{ m}$ و $30\text{ m}$.
• إذا كان $x=15$: الأبعاد $15\text{ m}$ و $10\text{ m}$. (0,25)

3. (1,5 ن)

$200-2(x-10)^{2}=200-2x^{2}+40x-200=-2x^{2}+40x=A(x)$. (0,5)

بما أن $(x-10)^{2}\geq 0$ فإن $A(x)\leq 200$ (0,5)، والمساواة تتحقق من أجل $x=10$. القيمة العظمى للمساحة هي $200\text{ m}^{2}$، وبُعدا القطعة $10\text{ m}$ و $20\text{ m}$ (الطول $40-20=20$). (0,5)

4. (1,5 ن)

$A(x)\geq 120 \iff -2x^{2}+40x-120\geq 0 \iff x^{2}-20x+60\leq 0$. (0,25)

$\Delta=400-240=160=16\times 10$، الجذران: $x=\dfrac{20\pm 4\sqrt{10}}{2}=10\pm 2\sqrt{10}$. (0,5)

العبارة سالبة أو معدومة بين الجذرين، إذن مجموعة الحلول $[\,10-2\sqrt{10}\,;\,10+2\sqrt{10}\,]$، أي تقريبا $[3{,}68\,;\,16{,}32]$ وهي محتواة في $]0;20[$. (0,5)

التفسير: تكون المساحة على الأقل $120\text{ m}^{2}$ إذا كان عرض القطعة محصورا بين $3{,}68\text{ m}$ و $16{,}32\text{ m}$ تقريبا. (0,25)

حل التمرين الثاني (5 نقاط)

1. (1,5 ن)

$\overrightarrow{AB}(4;2)$ و $\overrightarrow{AC}(2;-4)$. (0,25)

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\times 2+2\times(-4)=0$. (0,5)

$AB=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$ و $AC=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$. (0,5)

إذن $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}$ و $AB=AC$: المثلث $ABC$ قائم في $A$ ومتساوي الساقين. (0,25)

2. (1 ن)

يكون $ABDC$ مربعا إذا وفقط إذا كان متوازي أضلاع (لأن $ABC$ قائم متساوي الساقين في $A$)، أي $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$. (0,5)

$\overrightarrow{AD}(6;-2)$ إذن $x_D+1=6$ و $y_D-1=-2$، ومنه $D(5;-1)$. (0,25)

تحقق: منتصف $[BC]$ هو $(2;0)$ ومنتصف $[AD]$ هو $(2;0)$. (0,25)

3. (1 ن)

$\overrightarrow{BC}(-2;-6)$ شعاع توجيه للمستقيم $(BC)$، وشعاع ناظمي له $\vec{n}(3;-1)$. (0,25)

المعادلة من الشكل $3x-y+c=0$؛ بما أن $B(3;3)$ تنتمي إليه: $9-3+c=0$ إذن $c=-6$. (0,5)

$(BC):\ 3x-y-6=0$ (تحقق من $C$: $3+3-6=0$). (0,25)

4. (1,5 ن)

$\overrightarrow{MB}(3-x;3-y)$ و $\overrightarrow{MC}(1-x;-3-y)$. (0,25)

$\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MC}=(3-x)(1-x)+(3-y)(-3-y)=x^{2}-4x+3+y^{2}-9=x^{2}+y^{2}-4x-6$. (0,5)

إذن المعادلة $x^{2}+y^{2}-4x-6=0 \iff (x-2)^{2}+y^{2}=10$. (0,25)

$(E)$ هي الدائرة التي مركزها $I(2;0)$ (منتصف $[BC]$) ونصف قطرها $\sqrt{10}$، أي الدائرة التي قطرها $[BC]$. (0,25)

النقطة $A$: $(-1-2)^{2}+1^{2}=9+1=10$ إذن $A\in(E)$ (وهذا منسجم مع كون $ABC$ قائما في $A$). (0,25)

حل التمرين الثالث (10 نقاط)

1. (1 ن)

$f'(x)=3x^{2}-6x-9$. (0,5)

$3(x+1)(x-3)=3(x^{2}-2x-3)=3x^{2}-6x-9$. إذن $f'(x)=3(x+1)(x-3)$. (0,5)

2. (2 ن)

جذرا $f'$ هما $-1$ و $3$. إشارة $f'(x)$ على $I$: (0,5)

• موجبة على $[-2;-1[$
• سالبة على $]-1;3[$
• موجبة على $]3;4]$

إذن $f$ متزايدة تماما على $[-2;-1]$ وعلى $[3;4]$، ومتناقصة تماما على $[-1;3]$. (0,5)

القيم: $f(-2)=-8-12+18+5=3$، $f(-1)=-1-3+9+5=10$، $f(3)=27-27-27+5=-22$، $f(4)=64-48-36+5=-15$. (0,5)

(0,5 لجدول التغيرات)

3. (1 ن)

$f(0)=5$ و $f'(0)=-9$. (0,5)

$(T):\ y=f'(0)(x-0)+f(0)=-9x+5$. (0,5)

4. (1 ن)

$f(x)-(-9x+5)=x^{3}-3x^{2}-9x+5+9x-5=x^{3}-3x^{2}=x^{2}(x-3)$. (0,25)

بما أن $x^{2}\geq 0$ فإن إشارة الفرق هي إشارة $x-3$ (لما $x\neq 0$):

• إذا كان $-2\leq x<3$ و $x\neq 0$: $f(x)-(-9x+5)<0$ فـ $(C_f)$ تحت $(T)$.
• إذا كان $x=0$ أو $x=3$: يتقاطع $(C_f)$ و $(T)$.
• إذا كان $3<x\leq 4$: $(C_f)$ فوق $(T)$. (0,75)

(المماس يقطع المنحنى عند $x=3$ ويمسه عند $x=0$.)

5. (1,5 ن)

• على $[-2;-1]$ الدالة متزايدة وقيمها في $[3;10]$ وهي موجبة تماما، فلا حل. (0,25)
• على $[3;4]$ الدالة متزايدة وقيمها في $[-22;-15]$ وهي سالبة تماما، فلا حل. (0,25)
• على $[-1;3]$ الدالة مستمرة ومتناقصة تماما من $10$ إلى $-22$ والصفر بين القيمتين، فالمعادلة $f(x)=0$ تقبل حلا وحيدا. (0,5)

إذن للمعادلة حل وحيد $\alpha$ في $I$.

الحصر: $f(0{,}4)=0{,}064-0{,}48-3{,}6+5=0{,}984>0$ و $f(0{,}5)=0{,}125-0{,}75-4{,}5+5=-0{,}125<0$. بما أن $f$ متناقصة تماما على $[-1;3]$ فإن $0{,}4<\alpha<0{,}5$. (0,5)

6. (1,5 ن)

جدول قيم مساعد: (0,5)

• رسم المستقيم $(T):y=-9x+5$ بنقطتين مثل $(0;5)$ و $(1;-4)$. (0,25)
• رسم المنحنى $(C_f)$ بمروره بالنقط السابقة، مع مماس أفقي عند $x=-1$ و $x=3$ ومماسه $(T)$ عند النقطة $(0;5)$. (0,5)
• احترام السلم واتجاه التغيرات. (0,25)

7. (2 ن)

عدد حلول $f(x)=m$ في $I$ هو عدد نقط تقاطع $(C_f)$ مع المستقيم الأفقي $y=m$: (0,5 لتفسير المناقشة البيانية)

(1,5 للجدول: 0,25 لكل حالة من الحالات الست. يُشترط في الحالتين المعنيتين الإدراجُ الصحيح لـ $m=-15$ و $m=3$ ضمن حالتي الحلين، لأنهما القيمتان الطرفيتان $f(4)$ و $f(-2)$.)