الفرض الأول في الرياضيات للفصل الأول، السنة الثانية ثانوي (علوم تجريبية)
المدة: ساعة واحدة (60 دقيقة) المحاور: كثير الحدود من الدرجة الثانية: حل المعادلات وإشارة ثلاثي الحدود، المعادلات الوسيطية من الدرجة الثانية، الاشتقاقية: العدد المشتق ومعادلة المماس، اتجاه تغير دالة ودراسة دالة كثيرة حدود من الدرجة الثالثة، الوضع النسبي لمنحنى ومماسه والتمثيل البياني
التمرين الأول: المعادلات من الدرجة الثانية (8 نقاط)
الجزء الأول
نعتبر كثير الحدود $P(x)=2x^2-5x-3$.
- حلّ في $\mathbb{R}$ المعادلة $P(x)=0$. (1,5 ن)
- حلّل $P(x)$ إلى جداء عاملين من الدرجة الأولى، ثم حلّ في $\mathbb{R}$ المتراجحة $P(x)\le 0$. (1,5 ن)
الجزء الثاني
يريد فلاح من ولاية تيزي وزو تسييج قطعة أرض مستطيلة الشكل مساحتها $120\ \text{m}^2$، وطولها يزيد على عرضها بـ $7\ \text{m}$.
- بيّن أن عرض القطعة $x$ (بالمتر) يحقق المعادلة $x^2+7x-120=0$، ثم احسب بُعدي القطعة. ثم احسب تكلفة التسييج إذا كان ثمن المتر الواحد من السياج $450$ دج. (3 ن)
الجزء الثالث
$m$ وسيط حقيقي. نعتبر المعادلة $(E_m)$: $x^2-2mx+m+2=0$.
- عيّن قيم $m$ التي من أجلها تقبل المعادلة $(E_m)$ حلّين مختلفين في $\mathbb{R}$. (2 ن)
الحل وسلم التنقيط
التمرين الأول (8 ن)
1. (1,5 ن)
- $\Delta=(-5)^2-4(2)(-3)=25+24=49=7^2>0$ (0,5 ن)
- $x_1=\dfrac{5-7}{4}=-\dfrac{1}{2}$ و$x_2=\dfrac{5+7}{4}=3$ (0,5 ن)
- مجموعة الحلول: $S=\left\{-\dfrac12\,;\,3\right\}$ (0,5 ن)
2. (1,5 ن)
- $P(x)=2\left(x+\dfrac12\right)(x-3)=(2x+1)(x-3)$ (0,5 ن)
- إشارة $P(x)$ من إشارة $a=2>0$ خارج الجذرين وعكسها بينهما. (0,5 ن)
- $P(x)\le 0 \iff x\in\left[-\dfrac12\,;\,3\right]$ (0,5 ن)
3. (3 ن)
- العرض $x$ والطول $x+7$، المساحة: $x(x+7)=120$ أي $x^2+7x-120=0$ (0,5 ن)
- $\Delta=49+480=529=23^2$ (0,5 ن)
- $x=\dfrac{-7-23}{2}=-15$ مرفوض (سالب)، $x=\dfrac{-7+23}{2}=8$ (0,5 ن)
- العرض $8\ \text{m}$ والطول $15\ \text{m}$ (0,5 ن)
- المحيط: $2(8+15)=46\ \text{m}$ (0,5 ن)
- التكلفة: $46\times 450=20\,700$ دج (0,5 ن)
4. (2 ن)
- المعادلة من الدرجة الثانية، تقبل حلّين مختلفين $\iff \Delta'>0$ (لأن $\Delta=4\Delta'$). (0,5 ن)
- $\Delta'=m^2-(m+2)=m^2-m-2$ (0,5 ن)
- $m^2-m-2=(m+1)(m-2)$ (جذراه $-1$ و$2$) (0,5 ن)
- $\Delta'>0 \iff m\in\,]-\infty\,;-1[\,\cup\,]2\,;+\infty[$ (0,5 ن)
التمرين الثاني: دراسة دالة (12 نقطة)
نعتبر الدالة $f$ المعرّفة على المجال $I=[-3\,;5]$ بـ:
$$f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+2$$
و$(C_f)$ تمثيلها البياني في معلم متعامد ومتجانس $(O;\vec{i},\vec{j})$ (الوحدة $1\ \text{cm}$).
- احسب $f'(x)$ ثم بيّن أنّ $f'(x)=(x-3)(x+1)$ وادرس إشارتها على $I$. (2,5 ن)
- شكّل جدول تغيّرات الدالة $f$ على $I$. (2 ن)
- اكتب معادلة المماس $(T)$ للمنحنى $(C_f)$ عند النقطة ذات الفاصلة $0$. (1,5 ن)
- ادرس الوضع النسبي للمنحنى $(C_f)$ بالنسبة إلى المماس $(T)$ (يمكنك حساب $f(x)-(-3x+2)$ وتحليله). (2 ن)
- هل يوجد مماس آخر للمنحنى $(C_f)$ يوازي $(T)$؟ علّل وعيّن معادلته إن وُجد. (1,5 ن)
- أنشئ $(T)$ و$(C_f)$ على المجال $I$. (2,5 ن)
الحل وسلم التنقيط
التمرين الثاني (12 ن)
1. (2,5 ن)
- $f'(x)=x^2-2x-3$ (0,5 ن)
- $(x-3)(x+1)=x^2+x-3x-3=x^2-2x-3$ ✓ (0,5 ن)
- جذرا $f'$: $-1$ و$3$؛ $f'(x)>0$ خارج الجذرين و$f'(x)<0$ بينهما. (0,5 ن)
- على $I$: $f'(x)\ge0$ على $[-3\,;-1]$ و$[3\,;5]$، و$f'(x)\le0$ على $[-1\,;3]$ (1 ن)
2. (2 ن)
- القيم: $f(-3)=-9-9+9+2=-7$ ، $f(-1)=-\dfrac13-1+3+2=\dfrac{11}{3}$ ، $f(3)=9-9-9+2=-7$ ، $f(5)=\dfrac{125}{3}-25-15+2=\dfrac{11}{3}$ (1 ن)
| $x$ | $-3$ | $-1$ | $3$ | $5$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $f(x)$ | $-7$ | ↗ | $\frac{11}{3}$ | ↘ | $-7$ | ↗ | $\frac{11}{3}$ |
(1 ن: الإشارات والأسهم)
3. (1,5 ن)
- $f(0)=2$ و$f'(0)=-3$ (0,5 ن)
- $(T): y=f'(0)(x-0)+f(0)$ (0,5 ن)
- $(T): y=-3x+2$ (0,5 ن)
4. (2 ن)
- $f(x)-(-3x+2)=\dfrac13x^3-x^2=\dfrac13x^2(x-3)$ (1 ن)
- إذا كان $x<3$ (و$x\neq0$): الفرق سالب، $(C_f)$ تحت $(T)$. (0,5 ن)
- إذا كان $x>3$: $(C_f)$ فوق $(T)$. عند $x=0$ و$x=3$ يتقاطعان (التماس عند $x=0$، والتقاطع عند النقطة $(3\,;-7)$). (0,5 ن)
5. (1,5 ن)
- المماس الموازي لـ $(T)$ له معامل توجيه $-3$: $f'(x)=-3$ (0,5 ن)
- $x^2-2x-3=-3 \iff x(x-2)=0 \iff x=0$ أو $x=2$؛ نعم يوجد مماس آخر عند $x=2$. (0,5 ن)
- $f(2)=\dfrac83-4-6+2=-\dfrac{16}{3}$ ، المعادلة: $y=-3(x-2)-\dfrac{16}{3}=-3x+\dfrac23$ (0,5 ن)
6. (2,5 ن)
- جدول قيم مساعد: $f(-3)=-7$، $f(-2)=\dfrac{-8}{3}-4+6+2\approx 1{,}33$، $f(-1)\approx3{,}67$، $f(0)=2$، $f(1)=\dfrac13-1-3+2\approx-1{,}67$، $f(2)\approx-5{,}33$، $f(3)=-7$، $f(4)=\dfrac{64}{3}-16-12+2\approx-4{,}67$، $f(5)\approx3{,}67$ (1 ن)
- رسم المستقيم $(T)$ بتعيين النقطتين $(0\,;2)$ و$(1\,;-1)$ (0,5 ن)
- رسم المنحنى $(C_f)$ بشكل مناسب يُظهر القيمة الحدية العظمى المحلية عند $-1$ والصغرى عند $3$ والمماس الأفقي عندهما (1 ن)