الاختبار الأول في الرياضيات للفصل الأول، السنة الأولى ثانوي (جذع مشترك علوم وتكنولوجيا)
المدة: ساعتان (2 س) المحاور: مجموعات الأعداد والحساب على الجذور، المجالات والتقريب والتأطير، القيمة المطلقة والمعادلات والمتراجحات، عموميات حول الدوال واتجاه تغير دالة، المعلم المتعامد والمتجانس: المسافة، منتصف قطعة، الأشعة والتوازي
التمرين الأول: الأعداد الحقيقية (4 نقاط)
- نعتبر العددين: $a=\sqrt{75}-2\sqrt{12}+\sqrt{3}$ و $b=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}-\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}$.
- أ) اكتب $a$ على الشكل $c\sqrt{3}$ حيث $c$ عدد طبيعي. (1 نقطة)
- ب) بيّن أن $b$ عدد طبيعي. (1 نقطة)
- نعتبر المجالين $A=[-3\,;\,5[$ و $B=]1\,;\,+\infty[$. عيّن $A\cap B$ و $A\cup B$. (1 نقطة)
- نعلم أن $1{,}73<\sqrt{3}<1{,}74$.
- أ) استنتج تأطيرا للعدد $a$ ثم احسب سعة هذا التأطير. (0,5 نقطة)
- ب) أعط مدوّرا للعدد $a$ إلى $0{,}1$ مع التعليل. (0,5 نقطة)
الحل وسلم التنقيط
حل التمرين الأول (4 نقاط)
1. أ) $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$ و $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ (0,5)
$a=5\sqrt{3}-4\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$، إذن $c=2$. (0,5)
ب) $\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}=\dfrac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5})^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}+2$ (0,25)
$\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}=\dfrac{\sqrt{5}-2}{5-4}=\sqrt{5}-2$ (0,25)
$b=(\sqrt{5}+2)-(\sqrt{5}-2)=4$ وهو عدد طبيعي. (0,5)
2. $A\cap B=]1\,;\,5[$ (0,5) و $A\cup B=[-3\,;\,+\infty[$ (0,5)
3. أ) نضرب في $2$: $3{,}46<2\sqrt{3}<3{,}48$، أي $3{,}46<a<3{,}48$ (0,25)
السعة: $3{,}48-3{,}46=0{,}02$ (0,25)
ب) العددان $3{,}46$ و $3{,}48$ لهما نفس المدوّر $3{,}5$ إلى $0{,}1$، إذن مدوّر $a$ إلى $0{,}1$ هو $3{,}5$. (0,5)
التمرين الثاني: المعادلات والمتراجحات (4 نقاط)
- حلّ في $\mathbb{R}$ المعادلة: $|2x-1|=5$. (1 نقطة)
- حلّ في $\mathbb{R}$ المتراجحة: $|x+1|\leq 3$ وأعط مجموعة الحلول على شكل مجال. (1 نقطة)
- حلّ في $\mathbb{R}$ المتراجحة: $(2x-1)(3-x)\geq 0$ باستعمال جدول إشارة. (1,5 نقطة)
- عيّن مجموعة حلول الجملة: $\begin{cases}|x+1|\leq 3\\(2x-1)(3-x)\geq 0\end{cases}$ (0,5 نقطة)
الحل وسلم التنقيط
حل التمرين الثاني (4 نقاط)
1. $|2x-1|=5$ تكافئ $2x-1=5$ أو $2x-1=-5$ (0,5)
أي $x=3$ أو $x=-2$. إذن $S=\{-2\,;\,3\}$ (0,5)
2. $|x+1|\leq 3$ تكافئ $-3\leq x+1\leq 3$ (0,5)
أي $-4\leq x\leq 2$. إذن $S=[-4\,;\,2]$ (0,5)
3. $2x-1=0$ عند $x=\dfrac{1}{2}$ و $3-x=0$ عند $x=3$. (0,25)
| $x$ | $-\infty$ | $\dfrac12$ | $3$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $2x-1$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | |||
| $3-x$ | $+$ | $+$ | $0$ | $-$ | |||
| $(2x-1)(3-x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |
(0,75 للجدول)
مجموعة الحلول: $S=\left[\dfrac12\,;\,3\right]$ (0,5)
4. مجموعة حلول الجملة هي تقاطع المجموعتين: $[-4\,;\,2]\cap\left[\dfrac12\,;\,3\right]=\left[\dfrac12\,;\,2\right]$ (0,5)
التمرين الثالث: دراسة دالة (6 نقاط)
نعتبر الدالة $f$ المعرّفة على $\mathbb{R}$ بـ: $f(x)=x^{2}-2x-3$، و $(C_f)$ تمثيلها البياني في معلم متعامد ومتجانس $(O;\vec{i},\vec{j})$.
- أ) بيّن أنه من أجل كل عدد حقيقي $x$: $f(x)=(x-1)^{2}-4$. (0,5 نقطة)
- ب) تحقق أن: $f(x)=(x+1)(x-3)$. (0,5 نقطة)
- أ) حلّ في $\mathbb{R}$ المعادلة $f(x)=0$. (0,5 نقطة)
- ب) حلّ في $\mathbb{R}$ المعادلة $f(x)=-3$. (0,5 نقطة)
- أ) ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين. بيّن أن: $f(b)-f(a)=(b-a)(a+b-2)$. (0,5 نقطة)
- ب) استنتج اتجاه تغير $f$ على كل من المجالين $]-\infty\,;\,1]$ و $[1\,;\,+\infty[$. (1 نقطة)
- ج) شكّل جدول تغيرات $f$ مبيّنا القيمة الحدية الصغرى لها. (0,5 نقطة)
- أنشئ جدول قيم للدالة $f$ من أجل $x\in\{-2\,;-1\,;0\,;1\,;2\,;3\,;4\}$ ثم ارسم $(C_f)$. (الوحدة: $1$ سم على كل محور) (1 نقطة)
- ناقش بيانيا، حسب قيم الوسيط الحقيقي $m$، عدد حلول المعادلة $f(x)=m$. (1 نقطة)
الحل وسلم التنقيط
حل التمرين الثالث (6 نقاط)
1. أ) $(x-1)^{2}-4=x^{2}-2x+1-4=x^{2}-2x-3=f(x)$ (0,5)
ب) $(x+1)(x-3)=x^{2}-3x+x-3=x^{2}-2x-3=f(x)$ (0,5)
2. أ) $f(x)=0$ تكافئ $(x+1)(x-3)=0$ أي $x=-1$ أو $x=3$. $S=\{-1\,;\,3\}$ (0,5)
ب) $f(x)=-3$ تكافئ $x^{2}-2x=0$ أي $x(x-2)=0$، إذن $x=0$ أو $x=2$. $S=\{0\,;\,2\}$ (0,5)
3. أ) $f(b)-f(a)=b^{2}-a^{2}-2(b-a)=(b-a)(b+a)-2(b-a)=(b-a)(a+b-2)$ (0,5)
ب) - على $]-\infty\,;\,1]$: إذا كان $a<b\leq 1$ فإن $b-a>0$ و $a+b<2$ أي $a+b-2<0$، إذن $f(b)-f(a)<0$. الدالة $f$ متناقصة تماما على $]-\infty\,;\,1]$. (0,5)
- على $[1\,;\,+\infty[$: إذا كان $1\leq a<b$ فإن $b-a>0$ و $a+b>2$، إذن $f(b)-f(a)>0$. الدالة $f$ متزايدة تماما على $[1\,;\,+\infty[$. (0,5)
ج) $f(1)=-4$.
| $x$ | $-\infty$ | $1$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $\searrow$ | $-4$ | $\nearrow$ |
القيمة الحدية الصغرى هي $-4$ وتبلغها $f$ عند $x=1$. (0,5)
4. جدول القيم: (0,5)
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $5$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $5$ |
رسم المنحنى $(C_f)$ (قطع مكافئ رأسه $(1\,;-4)$ ومحور تناظره المستقيم $x=1$) بتعليم النقط ووصلها بمنحنى مستمر. (0,5)
5. حلول المعادلة $f(x)=m$ هي فواصل نقط تقاطع $(C_f)$ مع المستقيم الأفقي ذي المعادلة $y=m$. (0,25)
- إذا كان $m<-4$: لا يوجد حل. (0,25)
- إذا كان $m=-4$: حل وحيد هو $x=1$. (0,25)
- إذا كان $m>-4$: حلان مختلفان. (0,25)
التمرين الرابع: الهندسة التحليلية (وضعية) (6 نقاط)
ثلاث قرى $A$ و $B$ و $C$ ممثلة في مستوٍ منسوب إلى معلم متعامد ومتجانس $(O;\vec{i},\vec{j})$ وحدة الطول فيه $1$ كلم، حيث: $A(-1\,;\,2)$ و $B(3\,;\,4)$ و $C(-2\,;\,4)$.
- علّم النقط $A$ و $B$ و $C$ في المعلم. (0,5 نقطة)
- احسب الأطوال $AB$ و $AC$ و $BC$ ثم بيّن أن المثلث $ABC$ قائم في $A$. (1,5 نقطة)
- أ) عيّن إحداثيتي النقطة $D$ بحيث يكون الرباعي $ABDC$ متوازي أضلاع. (1 نقطة)
- ب) استنتج طبيعة الرباعي $ABDC$ مع التعليل، ثم احسب إحداثيتي مركزه $I$. (1 نقطة)
- ج) احسب مساحة هذا الرباعي بالكيلومتر المربع. (1 نقطة)
- تريد البلدية إنشاء مركز صحي عند النقطة $G(7\,;\,6)$. بيّن أن النقط $A$ و $B$ و $G$ في استقامية. (1 نقطة)
الحل وسلم التنقيط
حل التمرين الرابع (6 نقاط)
1. تعليم النقط $A(-1\,;2)$ و $B(3\,;4)$ و $C(-2\,;4)$ في المعلم. (0,5)
2. $AB=\sqrt{(3+1)^{2}+(4-2)^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ كلم (0,5)
$AC=\sqrt{(-2+1)^{2}+(4-2)^{2}}=\sqrt{5}$ كلم (0,25)
$BC=\sqrt{(-2-3)^{2}+(4-4)^{2}}=5$ كلم (0,25)
$AB^{2}+AC^{2}=20+5=25=BC^{2}$، فحسب عكس نظرية فيثاغورس المثلث $ABC$ قائم في $A$. (0,5)
3. أ) $ABDC$ متوازي أضلاع يكافئ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ (0,25)
$\overrightarrow{AB}(4\,;2)$ و $\overrightarrow{CD}(x_D+2\,;\,y_D-4)$ (0,25)
إذن $x_D+2=4$ و $y_D-4=2$ أي $D(2\,;\,6)$. (0,5)
ب) $ABDC$ متوازي أضلاع وله زاوية قائمة في $A$ (لأن $ABC$ قائم في $A$)، إذن هو مستطيل. (0,5)
مركزه $I$ منتصف القطر $[BC]$: $I\left(\dfrac{3-2}{2}\,;\,\dfrac{4+4}{2}\right)=I\left(\dfrac12\,;\,4\right)$. (تحقق: منتصف $[AD]$ هو $\left(\dfrac{-1+2}{2}\,;\,\dfrac{2+6}{2}\right)$ نفس النقطة.) (0,5)
ج) المساحة $=AB\times AC=2\sqrt{5}\times\sqrt{5}=10$ كلم$^2$. (1)
4. $\overrightarrow{AG}(7+1\,;\,6-2)=(8\,;\,4)$ (0,5)
و $\overrightarrow{AB}(4\,;\,2)$، إذن $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AB}$، فالشعاعان مرتبطان خطيا، ومنه النقط $A$ و $B$ و $G$ في استقامية. (0,5)