السنة الأولى ثانوي · جذع مشترك علوم وتكنولوجيا · الرياضيات · الفصل الأول

الفرض الأول في الرياضيات للفصل الأول، السنة الأولى ثانوي (جذع مشترك علوم وتكنولوجيا)

المدة: ساعة واحدة (60 دقيقة) المحاور: الأعداد الحقيقية: الحساب على الجذور المربعة، المجالات: التقاطع والاتحاد، القيمة المطلقة والمسافة بين عددين، التأطير والتقريب، عموميات حول الدوال: الزوجية، اتجاه تغير دالة (الدالة مربع) وجدول التغيرات، حل معادلة والتمثيل البياني لدالتين

التمرين الأول: الأعداد الحقيقية والمجالات والقيمة المطلقة (8 نقاط)

التمرين الأول (8 نقاط)

نعتبر العددين الحقيقيين:

$$A=3\sqrt{12}-\sqrt{75}+\sqrt{27}\qquad\text{و}\qquad B=\frac{1}{2-\sqrt{3}}-\frac{1}{2+\sqrt{3}}$$

(3 ن)

أ) اكتب $A$ على الشكل $a\sqrt{3}$ حيث $a$ عدد طبيعي. (1,5 ن)
ب) بيّن أن $B=2\sqrt{3}$. (1,5 ن)

نعتبر المجالين $I=[-3\,;5[$ و $J=\,]1\,;+\infty[$. عيّن كلا من $I\cap J$ و $I\cup J$. (2 ن)
(2 ن)

أ) حل في $\mathbb{R}$ المتراجحة $|2x-3|\le 5$. (1,5 ن)
ب) فسّر النتيجة هندسيا باستعمال المسافة بين عددين على مستقيم مدرج، علما أن $|2x-3|\le5$ تكافئ $|x-1{,}5|\le 2{,}5$. (0,5 ن)

نأخذ $1{,}73<\sqrt{3}<1{,}74$. أعط تأطيرا للعدد $A$ ثم عيّن سعة هذا التأطير. (1 ن)

الحل وسلم التنقيط

حل التمرين الأول (8 نقاط)

1. أ) (1,5 ن)

$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ و $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$ و $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$ (1 ن)

$A=6\sqrt{3}-5\sqrt{3}+3\sqrt{3}=4\sqrt{3}$ (0,5 ن)

ب) (1,5 ن)

$$B=\frac{(2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}$$ (0,5 ن)

المقام: $4-3=1$ (0,5 ن)، والبسط: $2\sqrt{3}$. إذن $B=2\sqrt{3}$ (0,5 ن)

2. (2 ن)

$I\cap J=\,]1\,;5[$ (1 ن)

$I\cup J=[-3\,;+\infty[$ (1 ن)

3. أ) (1,5 ن)

$|2x-3|\le5\iff -5\le 2x-3\le 5$ (0,5 ن)

$\iff -2\le 2x\le 8\iff -1\le x\le 4$ (0,5 ن)

مجموعة الحلول: $S=[-1\,;4]$ (0,5 ن)

ب) (0,5 ن)

$|x-1{,}5|\le2{,}5$ تعني أن المسافة بين $x$ و $1{,}5$ لا تتجاوز $2{,}5$، فالحلول هي الأعداد التي تبعد عن $1{,}5$ بمسافة أصغر من $2{,}5$ أو تساويها، أي المجال $[1{,}5-2{,}5\,;1{,}5+2{,}5]=[-1\,;4]$.

4. (1 ن)

$A=4\sqrt{3}$ ومنه $4\times1{,}73<4\sqrt{3}<4\times1{,}74$ أي $6{,}92<A<6{,}96$ (0,5 ن)

السعة: $6{,}96-6{,}92=0{,}04$ (0,5 ن)

لم تفهم؟ اطلب من المعلم الذكي شرح هذا التمرين

التمرين الثاني: دراسة دوال (12 نقطة)

التمرين الثاني (12 نقطة)

نعتبر الدالتين $f$ و $g$ المعرفتين على $\mathbb{R}$ بـ:

$$f(x)=x^2-4\qquad\text{و}\qquad g(x)=x+2$$

(6 ن)

أ) بيّن أن الدالة $f$ زوجية. (1,5 ن)
ب) ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين حيث $0\le a<b$. احسب $f(b)-f(a)$ ثم استنتج اتجاه تغير $f$ على المجال $[0\,;+\infty[$. (2,5 ن)
ج) استنتج اتجاه تغير $f$ على المجال $]-\infty\,;0]$ ثم شكّل جدول تغيرات $f$. (2 ن)

بيّن أن $f(x)-g(x)=(x+2)(x-3)$ ثم حل في $\mathbb{R}$ المعادلة $f(x)=g(x)$. (3 ن)
(3 ن) أنشئ في معلم متعامد ومتجانس $(O;\vec{i},\vec{j})$ التمثيلين البيانيين $(C_f)$ و $(C_g)$ للدالتين $f$ و $g$ على المجال $[-3\,;3]$ (استعن بجدول قيم)، ثم تحقق بيانيا من حلول المعادلة $f(x)=g(x)$.

الحل وسلم التنقيط

حل التمرين الثاني (12 نقطة)

1. أ) (1,5 ن)

مجموعة تعريف $f$ هي $\mathbb{R}$، وهي متناظرة بالنسبة إلى $0$. (0,5 ن)

$f(-x)=(-x)^2-4=x^2-4=f(x)$، إذن $f$ زوجية. (1 ن)

ب) (2,5 ن)

$f(b)-f(a)=b^2-a^2=(b-a)(b+a)$ (1 ن)

بما أن $0\le a<b$ فإن $b-a>0$ و $b+a>0$، ومنه $f(b)-f(a)>0$ (1 ن)

إذن $f$ متزايدة تماما على $[0\,;+\infty[$. (0,5 ن)

ج) (2 ن)

ليكن $a<b\le0$. عندئذ $0\le -b<-a$، وبما أن $f$ متزايدة تماما على $[0\,;+\infty[$ فإن $f(-b)<f(-a)$. وبما أن $f$ زوجية فإن $f(b)<f(a)$، إذن $f$ متناقصة تماما على $]-\infty\,;0]$. (1 ن)

جدول التغيرات (1 ن):

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$f(x)$		↘	$-4$	↗

2. (3 ن)

$f(x)-g(x)=x^2-4-x-2=x^2-x-6$ (0,5 ن)

و $(x+2)(x-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6$، إذن المساواة محققة. (0,5 ن)

$f(x)=g(x)\iff f(x)-g(x)=0\iff(x+2)(x-3)=0$ (1 ن)

الجداء المعدوم يعني أن أحد عامليه معدوم: $x+2=0$ أو $x-3=0$، ومنه $S=\{-2\,;3\}$ (1 ن)

3. (3 ن)

جدول القيم (1 ن):

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$5$	$0$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$	$5$
$g(x)$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$

رسم $(C_f)$: قطع مكافئ رأسه $(0\,;-4)$، متناظر بالنسبة إلى محور التراتيب (1 ن)
رسم $(C_g)$: مستقيم يشمل النقطتين $(-2\,;0)$ و $(3\,;5)$ (0,5 ن)
التحقق: يتقاطع المنحنيان في النقطتين $(-2\,;0)$ و $(3\,;5)$، فاصلتاهما $-2$ و $3$، وهما حلا المعادلة (0,5 ن)